Wie berechnet man das wenn die Aufgabenstellung lautet: Berechnen Sie alle Wurzeln?

Answer 1

[HeniH]

Hi,

x³ + 8 = 0

kannst die eine Lösung ist klar x = - 2

Polynomdivision (x³ + 8) : (x + 2) ergibt:

x² - 2x + 4

Pq-Formel!
Egibt 2 komplexe Lösungen.

x2 = 1 + √( 1 - 4) = 1 + √3 i

x3 = 1 - √(1 - 4) = 1 - √3 i

LG,

Heni

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Habe Mathematik studiert.

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[nobytree2]

Das ist natürlich noch galanter als meine Winkelgeschichten ...

Answer 2

[nobytree2]

Eine sieht man natürlich direkt

$^3\sqrt{-8}=^3\sqrt{8}\cdot^3\sqrt{-1}=2\cdot\left(-1\right)=-2$

Zu den beiden Lösungen siehe die Antwort von Tunik123.

Anbei noch meine Überlegungen.

Die beiden anderen sind komplex und werden meines Wissens mit Winkelfunktionen berechnet. Da es die dritte Wurzel ist, würde ich mal vermuten, von der -2 jeweils 120° in beide Richtungen.

Also

$i\cdot\sin\left(\pm\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)$

mal Radius (Radius ist hier 2, siehe die erste Lösung mit Betrag von -2)

wenn ich mich nicht vertan habe. Ich probiere mal

$\left(i\cdot\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)^3=i^3\sin^3+3i^2\sin^2\cos+3i\sin\cos^2+\cos^3$ $=-i\sin^3-3\sin^2\cos+3i\sin\cos^2+\cos^3$

$=i\cdot\left(3\sin\cos^2-\sin^3\right)+\left(\cos^3-3\sin^2\cos\right)$

Die Klammer nach i geht auf 0, passt also, hinten kommt -1 raus. Der Radius ist 2 (von der ersten Lösung), würde also passen (???). Passt das oder habe ich mich verrechnet??

Im Prinzip habe ich hier die drei Lösungen der dritten Wurzel von -1 dargestellt, die dritte Wurzel der positiven Zahl ist das dann mal Radius bzw. mal dritter Wurzel aus der positiven Zahl. So wird ein Schuh daraus.

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[Wechselfreund]

$^3\sqrt{-8}=^3\sqrt{8}\cdot^3\sqrt{-3}=2\cdot\left(-1\right)=-2$

Tippfehler, -1 statt -3

[nobytree2]

@Wechselfreund

korrigiert

[Suboptimierer]

Gebe ich die letzte Zeile in Wolframalpha ein, komme ich auf 1/8 - 9/8 = -8/8 = -1

[nobytree2]

@Suboptimierer

Der Radius von 2 muss noch mit dazu, es ist also noch mit 2³ zu multiplizieren.

Denn cos(pi/3) ergibt 0,5, mal 2 ergibt 1, sin(pi/3) ergibt Wurzel(3)/2. Alles mal 2 ergibt die Lösung von Tunik.

Der Radius 2 ergibt sich daraus, dass ich von der Lösung minus 2 jeweils 120° weggegangen bin.

Answer 3

[tunik123]

Im Bereich der reellen Zahlen sind Wurzeln aus negativen Zahlen prinzipiell nicht definiert.

Im Bereich der komplexen Zahlen wäre -2 (durchaus eine reelle Zahl) eine Lösung, denn (-2)^3 = -8.

Außerdem sind dann 1 + i*Wurzel(3) und 1 - i*Wurzel(3) Lösungen (mit i² = -1).

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[nobytree2]

Kannst Du bitte meine Rechnung checken? Ich habe es mit Sinus / Cosinus versucht, vielleicht ist von mir das ja Blödsinn, aber es wirkt nicht ganz so falsch ...

[nobytree2]

@nobytree2

Habe es gecheckt, passt: Radius von cos(pi/3) ist 1 und sin(pi/3) * 2 ergibt Wurzel(3)

Answer 4

[Blackyvario]

Von negativen Zahlen kann ein Taschenrechner keine Wurzel ziehen

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[magicced01]

Kubikwurzel geht die ist in dem Fall keine Komplexe Zahl

[evtldocha]

@magicced01

Nein - geht nicht. Die Lösung ist 1+i·√3 und das ist eine komplexe Zahl und bitte keinen Kommentar: "Aber (-2)³ = -8"

[Lucas515]

Wenn ich das so als Antwort in der Prüfung schreibe werde ich sofort exmatrikuliert und werde höchstpersönlich von meinem Dozenten gesteinigt.

[Wechselfreund]

Meiner kann das (Casio fx-87 DE)

Mathematisch ist das natürlich falsch.