Wie berechne ich die Kombinationsmöglichkeiten der Register bei einer Orgel?
Hallo allerseits,
Wie die Frage schon sagt, möchte ich gern wissen, wie ich die Kombinationsmöglichkeiten bei meiner Orgel mit 38 Registern ausrechnen kann. Dabei können ja 1-38 zeitgleich klingen.
Danke vorab.
Der Phoenixx
7 Antworten
Meine Antwort als Organist:
Ja, rein mathematisch sind es 2^38 Komtinationen, aber:
Musikalisch sind die meisten Kombinationen sinnfrei, weil es sich vielfach um Aliquoten handelt, also Register, die Obertöne verstärken sollen, z.B. die Quinte, die Terz etc., oder um Mixturen, in denen mehrere Aliquoten zusammengeschlossen sind. Seltenst würde ein Organist nur Obertonregister ohne Grundtöne kombinieren.
Bei 38 Registern würde ich folgende Annahmen treffen:
- Die Orgel hat 2 Manuale und 1 Pedal, die Aufteilung der Register liegt irgendwo bei 14 Registern pro Manual, und 10 im Pedal
- Pro Manual habe ich somit ca. 5 grundtönige Register (8', Prinzipale, Streich- und Flötenregister und Zungen, evtl. eine Schwebung), der Rest sind Aliquoten und Mixturen (Suboctav 16', Octave 4', Superoctave 2' und 1', Quinten 2⅔' und 1⅓', Terz 1 3/5' etc.)
- Im Pedal habe ich maximal 4 grundtönige Register (Prinzipal, Flöte, Zunge, Streicher), der Rest sind Suboktaven und evtl. eine Pedalmixtur
- Ich kann Manualregister von Manual II auf I koppeln, sodass Manual I auch Register von Manual II auslösen kann. Umgekehrt kommt sowas selten bis nie vor.
- Ich kann beide Manuale ins Pedal koppeln, sodass das Pedal die Register der Manuale auslösen kann, umgekehrt kommt das orgelbaulich nie vor.
Das heißt als Grundvoraussetzung hätten wir somit:
- 3 Tastaturen mit ca 14 / 14 / 10 Registern
- Pro Tastatur ca 4-5 Grundregister (registriertechnisch könnte man auch noch nur mit 4' als Soloregistrierung arbeiten, das würde man aber nicht mit anderen Registern kombinieren)
- Tastaturen nach unten hin koppelbar
- In jeder Registrierung muss mindestens 1 Grundregister vorkommen.
Nun, viel Spaß beim rechnen! :)
PS: Diese Annahme gilt für eine Kirchenorgel. Handelt es sich um eine elektr. Rockorgel, so gelten andere, nicht minder komplexe Voraussetzungen
Danke allen beiden. Also ich meinte schon die rein theoretischen Möglichkeiten. Dass viele davon einfach sinnfrei sind weiß ich. Ich wollte nur einfach den Rechenweg wissen.
Wenn ich das richtig verstehe (habe mal bei Wiki das Thema "Orgelregister" überflogen), kann der Organist jeden Registerknauf entweder rausziehen (aktivieren) oder reinschieben (bzw. deaktiviert lassen). D. h. es gibt für jedes Register 2 Zustände, somit gibt es bei den 38 Registern 2^38 Möglichkeiten der Registereinstellungen.
Eigentlich musst du nur alles Kombinationsmöglichkeiten ausrechnen. In deinem Fall kann jede Taste entweder An oder Aus sein. Also 2 Zustände.
2^38 = 274'877'906'944
Wenn du "Keine Taste drücken" nicht als Möglichkeit gelten lassen möchtest einfach noch -1.
Diese Lösung berücksichtigt aber nicht, dass du nur 10 Finger hast und somit nur 10 Tasten gleichzeitig drücken kannst. Auch wird nicht berücksichtigt, dass der Abstand zwischen den einzelnen Tasten nicht allzu groß sein darf :)
Es geht um die Register der Orgel, nicht um die Tastatur!
Die Berechnung ist aber korrekt.
Hallo,
wenn Du nur ein Register ziehst, hast Du 38 Möglichkeiten, bei zwei Registern sind es bereits 38*37 Möglichkeiten, bei drei sind es 38*37*36 usw.
Ziehst Du sämtliche Register, sind es dann 38*37*...*1=38! Möglichkeiten.
38*37 ist eine abgebrochene Fakultät, die Du auch als 38!/36! ausdrücken kannst.
So kannst Du folgende Summe bilden:
38!/37!+38!/36!+...+38!/1!+38!/0!
Bei dieser Summe kannst Du 38! ausklammern:
38!*(1/0!+1/1!+...+1/37!)
Wer mit Mac Laurinschen Reihen umgehen kann, weiß, daß die Reihe
x^n/n! sehr schnell gegen e^x konvergiert und damit der Term in der Klammer gegen e, die Eulersche Zahl.
Die Anzahl der Kombinationen läßt sich also leicht berechnen:
38!*e=1,421722877*10^45
Die Kombinationen bekommst Du in der Lebenszeit unseres Universums nicht mehr durchgespielt.
Herzliche Grüße,
Willy
Ich bin zwar kein Orgelexperte, aber ich glaube nicht, dass die Reihenfolge der Register eine Rolle spielt.
Hatte ich auch gerade gemerkt und einen entsprechenden Kommentar geschrieben.
Allerdings kann man die Registereinstellungen während eines Musikstückes ändern - und da käme es sehr wohl auf die Reihenfolge an. Musikalisch gesehen ist meine Rechnung also nicht mal ganz daneben.
Ich habe in meine Antwort die Permutationen mit einberechnet, also die Reihenfolge, in der die Register gezogen werden können.
Da es aber nur um die Kombinationen geht, ist die Antwort 2^38 korrekt.
Das nennt man glaube ich "kumulierte Binominalverteilung". Es gibt 38 Möglichkeiten mit einer Taste, es gibt (2 aus 38) Möglichkeiten mit 2 Tasten, es gibt (3 aus 38) Möglichkeiten mit 3 Tasten und so weiter. Das musst du dann alles addieren.
Laut Wikipedia ist das 2^38, praktisch.
https://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient#Summen_mit_Binomialkoeffizienten
Klassisches Beispiel für die Diskrepanz zwischen Theorie und Praxis bei mathematischen Aufgabenstellungen/Berechnungen :)
(wobei es hier wohl tatsächlich beim Fragesteller um Eigeninteresse und nicht um eine konstruierte Aufgabe bzgl. Kombinatorik geht...)