Wenn sich die Erde in Lichtgeschwindigkeit drehen würde, würde sich dann das Licht der Sonne um die Erde drehen?

Nein, die Erde würde schon lange vorher zerstört bzw. zerrissen werden, durch die gigantischen Fliehkräfte, die auf sie wirken würden. Die Gravitation könnte das nicht mehr ausgleichen. Zudem kann eine Ruhemasse niemals Lichtgeschwindigkeit erreichen, die Erde könnte also nie auf Lichtgeschwindigkeit gebracht werden, selbst wenn sie vorher nicht zerstört werden würde.

Drehgeschwindigkeiten haben die Dimension 1/Zeit, nicht Länge/Zeit. Die Frage macht somit keinen Sinn.