Wendetangente?

Welche Kurve der Schar *Foto* hat eine Wendetangente, die den Punkt ( 0 | 8 ) schneidet?

Ich freue mich über jede Hilfe. Danke im Voraus.

Answer 1

[LUKEars]

also... erstmal ableiten:

$f_a'(x)=3\cdot x^{3-1}-2\cdot 3\cdot a\cdot x^{2-1}=3\cdot x^2-6\cdot a\cdot x$ also an x=0 ist ein Extremum und dann ist da noch eins... und dazwischen ist ein Wendepunkt... https://www.schuelerhilfe.de/online-lernen/1-mathematik/3130-wendepunkte-berechnen

der Wendepunkt hat in der zweiten Ableitung eine Nullstelle... also zweite Ableitung:

$f''_a(x)=6\cdot x-6\cdot a$

und die Nullstelle ist:

$0=6\cdot x-6\cdot a$ also: x=a

jetzt hat die Tangente am Wendepunkt also die Steigung

$f'_a(a)=3a²-6a²=-3a²$ und der Wendepunkt (a | -2·a³) liegt auf ihr...

geht es jetzt allein weiter? jetzt fehlt noch der y-Achsenabschnitt...

und für welches a wird der 8?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Rubyz]

Leider nicht. Ich muss es aber schon morgen früh abgeben 🤐

[LUKEars]

@Rubyz

hast du den y-Achsenabschnitt?

[LUKEars]

@Rubyz

die Geradengleichung g der Wendetangente:

y=m·x+b
y=-3·a²·x+b
y-Achsenabschnitt (also: setzen wir den Berührpunkt ein):
-2·a³=-3·a²·a+b
--> -2·a³=-3·a³+b
--> a³=b

wann wird b jetzt 8?

a³=8
a=2

oder?

Answer 2

[ProfFrink]

Du bildest zuerst die erste und die zweite Ableitung Deiner Kurvenschar. Die Wendepunktbedingung verlangt das Verschwinden der zweiten Ableitung und führt zu der Feststellung x = a. Dies bedeutet, dass sich die Stelle des Wendepunktes stets an der Stelle x=a befindet, aber a ist damit noch nicht bestimmt.

Nun soll aber nicht die Stelle x gesucht werden, an dem sich der Wendepunkt befindet, sondern es soll die Tangenten zu diesem Wendepunkt gesucht werden, die durch den Punkt (0 | 8) geht.

Folglich muss zunächst eine allgemeine Geradengleichung für die Tangenten aufgestellt werden.

y = cx + d

wobei c die Bedeutung einer Steigung hat, die ja für den Punkt x=a aus der ersten Ableitung bestimmt werden kann. Damit ist a aber immer noch nicht bestimmt.

Im nächsten Schritt wird d bestimmt. Dies gelingt einfach mit der Bedingung y(0) = 8

Auch dies führt noch nicht zur endgültigen Bestimmung a.

Erst die letzte Bedingung, dass ja die Tangente auch den Wendepunkt an der Stelle x=a schneiden muss, führt zur Bestimmung von a mit dem Wert a=2

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung