Welcher Satz der Logik besagt, dass jede Menge von Aussagen, in der jede endliche Teilmenge konsistent ist, selbst konsistent ist?
2 Antworten
Da jede Menge ihre eigene Teilmenge ist, scheint mir diese Aussage eine Tautologie zu sein.
Erst wenn Du "Teilmenge" durch "echte Teilmenge" ersetzt, wird eine Aussage daraus, die des Beweises bedarf.
Ja, Danke für die Richtigstellung. Mit der Idee einer unendlichen Menge von Aussagen ergibt sich für mich eine überraschende Fragestellung. Aussagesätze sind Zeichenketten. Gehen wir von einem endlichen Zeichenvorrat aus, und ist eine Menge von Aussagen unendlich, dann gibt es für die Länge ihrer Aussagesätze keine Obergrenze, d.h., sie enthält unendliche Aussagen. Wie aber kann man unendliche Aussagen untersuchen? Man wird, analog zu den unendlichen Folgen und Reihen, ein Kalkül zur symbolischen Handhabung unendlicher logischer Ausdrücke benötigen. Anscheinend ist 'Infinitary Logic' das Gebiet, das sich damit befasst. Spannende Sache...
Daß eine Aussagenmenge unendlich ist, also unendlich viele Aussagen enthält, muß nicht heißen, daß sie unendlich lange Aussagen enthält. In der Logik arbeitet man normalerweise mit endlich langen Ausdrücken, von denen es aber unendlich viele gibt. In der Aussagenlogik z. B. kann man beliebig viele Ausdrücke durch Junktoren miteinander verbinden, wodurch sich neue Ausdrücke ergeben. So kann z. B. "p" ein (atomarer) Ausdruck der Aussagenlogik sein, daraus kann man dann "p & p" bilden, das ist auch ein endlich langer wohlgeformter Ausdruck, ebenso wie "p & p & p", "p & p & p &p", "p & p & p & p & p" usw. ad infinitum. Alle diese Ausdrücke sind endlich, aber es gibt (abzählbar) unendlich viele davon.
In der natürlichen Sprache ist es doch dasselbe: Alle Sätze des Deutschen z.B. haben eine endliche Länge, aber es gibt unendlich viele davon. Z.B. "Ich habe gestern ein Brötchen gegessen." ist ein deutscher Satz von endlicher Länge, ebenso "Ich habe gestern zwei Brötchen gegessen", "Ich habe gestern drei Brötchen gegessen", ... "Ich habe gestern 23.245.786 Brötchen gegessen", "ich habe gestern 10 hoch 27 Brötchen gegessen" usw. Die Menge aller dieser Sätze der Form "Ich habe n Brötchen gegessen", wobei "n" eine beliebige natürliche Zahl ist, ist (abzählbar) unendlich, aber jeder dieser Sätze hat nur eine endliche Länge.
Damit will ich natürlich nicht bestreiten, daß es eine "spannende Sache" sein kann, sich in einer "Infinitary Logic" mit Ausdrücken unendlicher Länge zu beschäftigen.
Der Kompaktheitssatz.
Bitte beachte, daß es heißt: "..., in der jede *endliche* Teilmenge konsistent ist". Deine Argumentation trifft nur dann zu, wenn die Gesamtmenge endlich ist. Wenn dann jede endliche Teilmenge konsistent ist, ist trivialerweise auch die Gesamtmenge konsistent, da sie dann eine endliche Teilmenge ihrer selber ist. Es ist aber nicht ausgeschlossen, daß die Gesamtmenge unendlich ist. Der Satz besagt dann, daß diese unendliche Menge konsistent ist, sofern alle ihre *endlichen* Teilmengen (zu denen sie selber nicht gehört, da sie ja nicht endlich ist) konsistent sind. Oder anders ausgedrückt: Jede (möglicherweise unendliche) inkonsistente Aussagenmenge enthält mindestens eine inkonsistente endliche Teilmenge.