Was ist Unendlichkeit?
Wie definiert ihr Unendlichkeit? Oder denkt ihr es gibt keine? Und von was seid ihr 99,999...% sicher dass es unendlich ist?
16 Antworten
Mathematische Unendlichkeit gibt es in jedem Fall, schon allein dadurch, dass es keine größte natürliche Zahl und auch keinen kleinsten Bruchteil von 1 gibt. Daher gibt es auch Mengen, die ganz offensichtlich unendlich viele Elemente enthalten, wie ℕ oder (0,1].
KardinalitätDas Intervall (0, 1] enthält sogar »mehr« Elemente als ℕ. Der Begriff der Mächtigkeit oder Kardinalität und die Kardinalzahlen beschreibt allgemein die »Anzahl der Elemente« endlicher wie unendlicher Mengen. Dies kann mit Hilfe von Abbildungen geschehen:
Eine Abbildung
f: X → Y; x ↦ y
ist eine Relation, bei der jedem x∈X genau ein y∈Y zugeordnet wird.
Ist die Eindeutigkeit umkehrbar, heißt f injektiv.
Ist ganz Y die Wertemenge, heißt f surjektiv.
Ist beides der Fall, heißt f bijektiv. In diesem Fall ist auch
f⁻¹: Y → X; y ↦ x
eine Abbildung.
Seien weiterhin X und Y Mengen; deren Kardinalitäten |X| und |Y| heißen.
Ist |X| > |Y|, so gibt es keine injektiven Abbildungen f:X→Y.
Ist |X| < |Y|, so gibt es keine surjektiven Abbildungen f:x→Y.
Ist |X| = |Y|, so gibt es bijektive Abbildungen f:X→Y.
Sind X und Y endliche Mengen, ist jede injektive Abbildung auch surjektiv und umgekehrt. Bei unendlichen Mengen ist das nicht unbedingt der Fall.
|ℕ| wird auch ℵ₀ genannt. Allerdings ist auch |ℚ|=ℵ₀ und selbst |𝔸|=ℵ₀ (𝔸 ist die Menge aller algebraischen Zahlen, also sogar √2). Die nächstgrößere Kardinalität wird mit ℵ₁ bezeichnet.
Mit ℵ oder auch 𝔠 (für continuum) wird |ℝ| bezeichnet, und die sogenannte Kontinuumshypothese sagt aus, dass 𝔠 = ℵ₁ ist. Sie lässt sich allerdings mit den derzeitigen Axiomen weder beweisen noch widerlegen.
Erweiterte Reelle ZahlenEine ganz andere Form der Unendlichkeit tritt uns bei den erweiterten Reellen Zahlen entgegen, die es in affiner Form als
ℝ̅ = ℝ∪{–∞; +∞}
und in projektiver Form als
ℝ* = ℝ∪{∞}
gibt. Mit diesen Unendlichkeiten kann man nicht so rechnen wie mit gewöhnlichen Zahlen um muss sich vor allem hüten, etwa
∞∈ℝ* = 1/0
zu setzen. Durch 0 kann nicht deshalb nicht geteilt werden, weil das unendlich wäre, sondern weil es dank der Eigenschaft der 0 als großem Plattmacher (0·a=0∀a∈ℝ) keine Eindeutigkeit gibt und man Unsinn beweisen könnte. Wirkliche Zahlen sind weder ∞∈ℝ* noch ±∞∈ℝ̅.
Nichtstandard-Ana-lysisNicht zu verwechseln mit ℝ* ist der Körper der hyperreellen Zahlen *ℝ. Er enthält infinitesimale und unendliche Zahlen definieren, sodass eindeutig z.B.
α–α = 0, α/α = 1
gilt. Sie lassen sich über Folgen und bestimmte Auswahlkriterien so definieren, dass die Eindeutigkeit immer gegeben ist.
Es gibt in diesem Rahmen nicht nur »unendlich«, sondern gleichsam viele »unendlich«s, mit denen sich rechnen lässt wie mit gewöhnlichen Reellen Zahlen. Ferner hat das Symbol »≈« eine eindeutigere Bedeutung als üblich, nämlich die, dass sich zwei hyperreelle Zahlen nur um einen infinitesimalen Betrag unterscheiden.
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Physikalische Unendlichkeit tritt in jedem Fall bei den Komponenten der Vierergeschwindigkeit eines Lichtsignals auf. Natürlich ist der Betrag (wie bei allem) c, aber die Komponenten enthalten den Lorentz-Faktor
γ = 1/√{1 – (v/c)²},
der bei v=c divergiert. mit Hilfe der Nichtstandard-Ana-lysis kann man sich dahingehend behelfen, dass man die Masse des Photons auf ≈0 statt =0 setzt.
Der Umfang bzw. die äußere Begrenzung eines Kreises ist unendlich. Als "unendlich" definiert sich für mich daraus der Zustand aus dem unser Universum entstanden sein dürfte, weil es logischerweise keinen absoluten ANFANG und kein absolutes ENDE des Universums geben kann. Sonst wären wir nicht/niemals im JETZT und nicht/niemals im SEIN. Sämtliche Basisvoraussetzungen würden andernfalls niemals im JETZT - DA - SEIN. D.h. in bzw. von einem unendlichen Zustand heraus dürfte ALLES aus einem sich erweiterndem multiversellen Kreislauf aller Dinge geschehen. DIE Frage dabei ist für mich, ob die UNENDLICHKEIT dabei evtl. sogar ständig wieder in ihren exakten URZUSTAND des Kreislaufs zurückfindet ?
Rein wissenschaftlich betrachtet ist Ihre Definition ganz bestimmt zutreffend(er). Ich merke anhand Ihren sonstigen Kommentaren, dass Sie sich damit "TOP" auskennen sowie "up to date" sind.
Ich erlaube mir - trotz meiner wissenschaftlichen Begrenztheit - das trotzdem - für mich so ersichtlich - etwas anders zu definieren:
Der äußere Kreisrand ist in in seiner dimensionalen Bestimmung exakt gleichverlaufend und verläuft dazu auch exakt "in sich selbst". Anfang und Ende haben beim Kreisrand-Verlauf nicht und niemals einen Bezugspunkt und sind daher nicht und niemals existent.
Nach meiner Auffassung ist DIES sogar DIE perfekte einzigartige "Hilfs-Definition" für die offenbare Unendlichkeit des Universums - ohne dessen Funktionsweisen damit genauer definieren zu können.
Verwechseln Sie (gewöhnlich pflege ich hier ähnlich wie in Wikipedia das »Du« zu verwenden) nicht »unendlich« und »unbegrenzt«, das sind zwei verschiedene Dinge.
Sie können willkürlich einen Punkt auf den Kreis wählen und von diesem Punkt aus so lange messen, bis Sie an eine Grenze stoßen (was beim Kreis nicht passieren wird) oder wieder am Ausgangspunkt ankommen. Sie werden einen endlichen Umfang erhalten.
Möglicherweise ist sogar unser Universum in diesem Sinne endlich. Carl Sagan scheint das auch geglaubt zu haben, sprach er doch in »Unser Kosmos« davon, das Universum zu »umrunden«.
Für Endlichkeit brauchst Du 2 Punkte, Anfang und Ende.
Fehlt Dir ein Punkt ist das Ergebnis zunächst unendlich.
Hättest Du bezogen auf das Universum beide Punkte, wäre die Veranstaltung zu Ende.
Unendlich ist Etwas, wenn es immer ist, also z.B Energie, oder anfängt und nicht aufhört, wie Pi .... 3,14150465359 .... usw.
Und daß Pi unendlich so weiter geht, daß lässt sich sogar beweisen:
https://books.google.de/books?id=fKhEAAAAcAAJ&pg=PA156#v=onepage&q&f=false
Ist halt so eine Sache mit Unendlichkeiten, denn im Prinzip ließe sich jedes erdenkliche Wissen, Lektüre usw. kodiert in dieser irrationalen Zahl finden.
Hatte ich noch so im Kopf, aber die Null ist ein Tippfehler ;)
Der Tod - er ist unendlich lang vorhanden, wird niemals enden.
Das weißt du nicht, ich bin zwar auch dieser ansicht, aber wie willst du ein weiteres geistiges existieren widerlegen?
- was einen Anfang hat, besitzt auch ein Ende
- materielle Substrate ermöglichtgen erst einmal Leben
- wenn Menschen weiterleben, dann auch andere Tiere, dann auch Pflanzen, Bakterien usw., schließlich auch noch Proteine und Kristalle, sowie Steine usw. - einfach absurd
- under Empfinden und Denken ist elektrochemisch aufgebaut, Neurotransmittern geschuldet
- PC: ist die hardware zerstört, ist die software sofort auch vernichtet
Der Kreisumfang hat zwar keinen absoluten Anfang, kein absolutes Ende, aber er ist
nichtunendlich.