Warum müssen die 3 Punkte, mit denen man eine Ebenengleichung aufstellt, linear unabhängig sein?
3 Antworten
Die Formulierung ist falsch.
Die Drei Punkte müssen nicht linear unabhängig, sondern affin unabhängig sein.
Wenn die drei Punkte x1, x2 und x3 heißen, bedeutet das, dass die Vektoren x2-x1 und x3-x1 linear unabhängig sein müssen. Wären die beiden Vektoren nämlich linear abhängig, würde es bedeuten, dass die drei Punkte auf einer geraden liegen, und somit keine Ebene aufspannen können.
Ich hatte mich verlesen und war deshalb sehr verwirrt, das hat sich jetzt aber erledigt, trotzdem danke!! :) (ich konnte die Frage nicht mehr löschen)
Wenn die 3 Punkte linear abhängig sind hast du höchstens genügend Informationen um eine Gerade im 3D darzustellen. Das kannst du dir anhand von Ebenengleichung und Geradengleichung selbst überlegen. Schreibe dazu die Ebenengleichung hin und nimm an das zwei der drei Vektoren linear abhängig sind. Setze ein was genau das bedeutet (Fallunterscheidung zwischen Aufpunkt und Spanvektoren) und du wirst sehen dass du höchstens eine Geradengleichung (oder auch nur eine Punktgleichung, wenn alle Vektoren l.a. sind) erhälst.
Wenn du 3 Punkte hast, aber mindestens 2 davon deckungsgleich sind, dann kann man keine Ebenengleichung aufstellen, weil dann hätte man zu wenig Informationen.
Mich verwirrt, dass du sagst 3 Punkte müssen linear unabhängig sein. Aber ich kenne es nur so, dass Vektoren linear unabhängig sein können.
Achso, ja, da hast du natürlich recht, hab mich falsch ausgedrückt, meinte die Vektoren vom Ursprung bis zu den jeweiligen Punkten. Mir ist aber auch gerade aufgefallen, dass ich die Frage komplett falsch gelesen habe und es deshalb sowieso überhaupt keinen Sinn ergibt. Hab es jetzt verstanden, ich war sehr verwirrt und werde die Frage jetzt löschen, um nicht ewig an meine Unfähigkeit erinnert zu werden🙈
Naja, aber es müssen doch nicht unbedingt 2 Vektoren Vielfache voneinander sein, damit alle 3 linear abhängig sind, oder bin ich jetzt komplett verwirrt?