Warum ist 1/Φ = Φ - 1?

Φ als goldener Schnitt also 1,618…

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Das folgt aus der Definitions des Goldenen Schnittes, wenn man auf beiden Seiten 1 abzieht. $\frac{1 + \phi}{\phi} = \phi \quad \vert -1 \\ \frac{1}{\phi} = \phi - 1$

Comments

[Eam77]

Woher hast du die obere Definition?

[Mathmaninoff, UserMod Light]

@Eam77

Der Goldene Schnitt ist so definiert, dass das Verhältnis zwischen der größeren Zahl zur kleineren Zahl gleich dem Verhältnis der Summe zur größeren Zahl ist.

$\phi = \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b}$

Den Bruch in der Mitte kann man mit b kürzen und so nur mit Φ darstellen.

$\frac{a+b}{a} = \frac{\frac{a}{b} + 1}{\frac{a}{b}} = \frac{\phi + 1}{\phi}$

So kommt man auf die Gleichung

$\frac{1 + \phi}{\phi} = \phi$

Answer 2

[PMeindl]

Weil es durch die Gleichung so festgelegt ist.

Wenn man 1/x = x-1 löst, kommt für x= (1+Wurzel(5))/2 = 1,618...raus.

Die ursprüngliche Forderung ist eigentlich, zwei Längen x und y so ins Verhältnis zu setzen, dass x:y = y:(x+y). Das ist ein künstlerisch wichtiges Verhältnis. Z.B. die Anordnung des Turms am Leipziger Rathaus ist nach diesem Verhältnis gewählt.

Answer 3

[ChrisGE1267]

Weil der Goldene Schnitt Phi Lösung der Gleichung Phi^2 - Phi - 1 = 0 ist…

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – PhD Analytische & Algebraische Zahlentheorie