Goldener Schnitt und Fibonacci Formel?
Hallo beisammen irgendwie steh ich grad auf den Schlauch.
Ich halte morgen eine Präsentation über diese Themen und meine Recherche zeigt das je weiter man in der Fibonacci Sequenz fortschreitet, desto näher kommt man an die Goldene Formel Zahl an.
Jedoch habe ich Fotos und Videos gesehen wo man die 2 vorherigen Zahlen miteinander addiert und dann die eine vorherige Zahl mit dessen Summe addiert usw.
Aber man hat ab 610+987=1597 dann angefangen zu dividieren ???
d.h es war dann aufeinmal so 1597:987= 1,6180?
also wieso hat man aufeinmal dividiert ? War das nur weil man wusste das es ab diesem Wert viel näher am goldenen Schnitt geht ?
hier nochmal bildlich :
Lg
4 Antworten
Die "Plus"-Rechnungen dienen ja nur dazu, die Fibonacci-Zahlen bis n=17 zu berechnen (Wobei auch einige Zahlen fehlen)
Die Quotientenbildung hätte man der Übersichtlichkeit halber besser etwas abgesetzt und mit einer Überschrift "Näherung 'Goldener Schnitt'" o.ä. versehen.
Kannst du mir vielleicht Schreiben welche Zahlen denn fehlen ?
und wie bis n=17 ? Ich dachte das würde unendlich lang gehen
und wieso genau ab diesen Punkt dividieren bzw. warum mit diesen Zahlen?
Man muss zwei Dinge unterscheiden, die hier durcheinander geraten sind:
1) Erstellung der Fibonacci-Folge
Das war zunächst eine reine Spielerei mit Zahlen von Leonardo Fibonacci. Der hatte um das Jahr 1200 herum die neuen arabischen Zahlen kennengelernt (davor gabs die römischen) und wie schön man damit rechnen kann. Aus Jux und Dollerei entwickelte er dann die bekannte Folge. Die gilt somit als erste Zahlenfolge, die durch eine rekursive Formel erzeugt wurde.
2) Anwendung der Fibonacci-Folge.
Erst im Laufe der Zeit erkannte man, dass die Fibonacci-Folge ganz bestimmte und erstaunliche Eigenschaften aufweist, aus denen man auch praktischen Nutzen ziehen konnte. So wird die Fibonacci-Folge nach wie vor als Grundlage der Erforschung der Zahlentheorie verwendet, sie wird in der Finanzmathematik erwendet, um gewisse Parameter ausrechnen zu können und sie dient zur Beschreibung in der Biologie für viele Wachstumsphänomene. In der Informatik dient sie zur Berechnung von Laufzeiten bestimmter Algorithmen.
Eine Anwendung findet in der Kunst statt, die in deinem Beispiel aufgeführt wird. Bildet man den Quotienten von zwei aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen, nähert sich dieser Quitient immer mehr dem Verhältnis des Goldenen Schnittes bzw. der Goldenen Spirale an. Somit kann man diese "Goldene Zahl" mit den 4 Grundrechenarten errechnen, ohne irgendwelche Kenntnisse von Gleichungsumformungen zu haben. Das war im 13. Jahrhundert sehr hilfreich. Heute ist es auch nur eine nette Spielerei, da es inzwischen Methoden gibt, das Verhältnis des Goldenen Schnittes wesentlich schneller und direkter zu berechnen.
Man kann genauso gut die vorherigen Quotienten auch berechnen. Anscheinend war es nicht das Ziel, die Folge der Quotienten darzustellen, sondern nur die genauste Schätzung, die man mit den bisherigen Zahlen hat.
Ein möglicher Grund, zwei Quotienten zu berechnen ist, dass diese abwechselnd größer und kleiner als der goldene Schnitt sind, und man so ein Intervall bekommt, in dem der goldene Schnitt drinliegt. Bei einem einzelnen Quotienten wüsste man nicht wie genau die Schätzung ist, wenn man nicht bereits im Voraus den Grenzwert kennt.
In der Tabelle ist die Fibonacci-Reihe aufgeführt bis 34 (mit Unterbrechung)...und dann wieder ab 233 bis 1597.
Die Eigenschaft dieser Reihe ist nun: Wenn man jede Zahl durch die jeweils vorhergehende dividiert, kommt immer UNGEFÄHR 1,6 raus. Je weiter man bei der Division nun zu höheren Zahlen geht, desto näher rückt man an die "goldene Zahl" heran: 1,6180327....
Prüfe das mal bei kleineren Zahle wie z.B bei 34:21 oder 13:8 .
In der Tabelle oben ist nur die Reihe bis 1597 aufgeführt und danach hat man mit der Reihe aufgehört und wollte nur noch zeigen, dass man schon dicht an der "goldenen Zahl" dran ist. Besser wäre es gewesen, wenn man die beiden letzten Zeilen (mit der Division) etwa separat geschreiben hätte
Natürlich hätte man die Reihe weiter fortführen könnnen, um noch eine Kommastelle dichter an die Zahl zu kommen.
Alles klar?
Es fehlt noch der genaue Wert der Zahl. Hier ist er: [1+Wurzel (5) ]/2
Noch was (für Deinen Vortrag): Weißt Du, dass die Fibonacci-reihe auch in Natur und Technik zu finden sind?
Das ist die Formel, mit der man diese "goldene zahl" beliebig exakt berechnen kann: Wurzel aus 5 bilden und "1" addieren, und dann davon die Hälfte.
Ich verstehe alles bis auf das : 1+Wurzel (5) ]/2?