Warum näheren sich die Fibonacci Zahlen dem goldenen Schnitt?

Kann mir das jmd. logisch erklären. Wie stehen die Zahlen in Verbindung?

3/2 = 1.5

5/3= 1.66

8/5 = 1.6

13/8= 1.625…..

Answer 1

[fragenhelfer888]

Ein größerer Teil a steht mit einem kleineren Teil b im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn gilt

$\frac{a}{b}=\frac{a+b}{a}$

Das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge lautet

$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$ Möchte man damit eine Formel zur Berechnung der n-ten Fibonacci-Zahl aufstellen, ist es sinnvoll einen exponentiellen Ansatz zu wählen, der die obige Randbedingung erfüllt

$a^n=a^{n-1}+a^{n-2}$ Stellt man diese Gleichung nach a um, erhält man für a

$a^2=a+1$ Durch a dividieren (a=0 kann ausgeschlossen werden)

$a=\frac{a+1}{a}$ Dies entspricht eben gerade dem Teilungsverhältnis des Goldenen Schnittes für a=Φ und b=1. Das besagte exponentielle Bildungsgesetz eignet sich tatsächlich zur Aufstellung einer Formel, welche die n-te Fibonacci-Zahl angibt (Hier ist eine Herleitung).

Der goldene Schnitt steckt also schon im Bildungsgesetz der Fibonacci-Folge. Das dann auch die goldene Zahl Φ (1,6180...) als Grenzwert rauskommt, wenn du einen Quotienten aus benachbarten Fibonacci-Zahlen betrachtest und die Zahlen gegen unendlich streben lässt, kannst du leicht nachrechnen, indem du besagt Formel verwendest.

Answer 2

[ranger1111]

Du kannst die also Folge rekursiv generieren. Und daraus auch den Quotienten als Folge generieren. Und dann zeigst du, dass die Folge konvergiert.

https://youtu.be/MqZkl8_uF08

Woher ich das weiß: Hobby – Ich hatte immer ein Händchen für Mathematik

Answer 3

[TMA01]

Wikipedia ist dir ja sicher ein Begriff. Der logische Zusammenhang dürfte in der Natur als solcher begründet sein, die wir auf eine bestimmte Art und Weise wahrnehmen und ihre Proportionen dementsprechend positiv beurteilen oder auffällig finden, wie sich diese wiederholen. Wir erkennen gewisse Muster aufgrund unseres während der Evolution entstandenen Gehirns.