Warum braucht erreicht der Ball das Ziel das Ziel bei einer bestimmten Krümmung des Weges schneller als auf der geraden Strecke, oder der längsten?
5 Antworten
Also eine intuitiv, physikalische Erklärung wurde ja schon genannt. Demnach werde ich dies wohl noch mit einer mathematischen ergänzen. Die Zeit kann man berechnen, indem man die Geschwindigkeit zunächst über Energieerhaltung angibt:
mit h als aktuelle Höhe über dem End-Punkt und H als Höhe am Anfangspunkt. Die verschiedenen Kurven, die ein Objekt nach unten hin verfolgt, kann man dann als vektorielle Funktion h beschreiben mit x als horizontaler Abstand von dem Anfangspunkt aus gesehen. Die Zeit wird dann berechnet als Integral über die Inverse Geschwindigkeit von Anfangs- bis Endpunkt:
und wegen der vektoriellen Parametrisierung gilt
demnach ist die Dauer für das Durchlaufen einer beliebigen Bahn
Dies ist ein sogenanntes Funktional als Integration einer Funktionsabhängigen Funktion über das Argument. Dies kann man optimieren, sodass das Ergebnis (hier eben die Zeit) minimiert wird. Das geschieht über die Euler-Lagrange Gleichung, welche die Lösungsformel für so einen Fall angibt. Damit erhält man eine Differentialgleichung für die Funktion h(x), welches die optimale Kurve definiert.
Nach Lösen der Differentialgleichung erhält man die (parametrisierte) Bahnkurve, welche die durchlaufene Zeit minimiert:
Die Brachistochrone.
Ich bin kein Experte, aber ich denke, da bei einer Gerade die Gravitation nicht so einen großen Effekt hat, da die Beschleunigung ja nicht so krass ist.
Also beim Fall, wird erst richtig schnell viel Geschwindigkeit aufgebaut (durchs Fallen bzw. Schwerkraft) und dann wird mit dieser Geschwindigkeit ohne sonstigen Einfluss weitergerollt (wenn man das so simpel betrachten kann).
Bei einer Geraden ist die Beschleunigung konstant, aber dafür niedriger, wodurch die Kugel langsam immer schneller und schneller wird, wo die Kugel beim indirekten Weg schon mehr Geschwindigkeit aufgebaut hat und jetzt mit "konstanter" Geschwindigkeit weiterrollt.
(Ich habe mal Reibung bzw. und Luftwiderstand rausgelassen)
Idk, ob's richtig ist, aber so würde ich's mir erklären.
Auf der Geraden hat man die kürzeste Strecke, ABER nur eine konstante Beschleunigung und dadurch die höchste Geschwindigkeit erst am Ende der Strecke, kann sie also nicht gut nutzen.
Die gänzlich andere Alternative wäre, die Kugel senkrecht fallen und dann waagerecht abprallen zu lassen. Dadurch hat man die maximale Geschwindigkeit auf der gesamten Breite, ABER den längsten Weg.
Das Optimum ist eben ein Kompromis aus früher, hoher Beschleunigung und einer nicht zuu großen Verlängerung des Weges!
Die Brachistochrone
Die Brachistochrone. Ein beliebtes Musterbeispiel für die Variationsrechnung. Außerdem schwer in der Rechtsschreibung und schwer auszusprechen.
der Ball muss in Rotation versetzt werden um vorwärts zu kommen, dazu muss sein Trägheitsmoment überwunden werden. Das macht den Unterschied zu einer gleitenden Masse.
Ok, die zeitlichen Abläufe auf den Bahnen sind auch beim Gleiten verschieden, aber beim Rollen sind sie insgesamt langsamer und vergrößern die Unterschiede.
Weil die Rollreibung im Verhältnis zur Haftreibung je nach Streckenform unterschiedlich groß wird. Bei geringer Geschwindigkeit wirkt die Haftreibung stärker. Vermeidet man diesen Bereich, indem man am Beginn bereits eine große Beschleunigung zulässt, bleibt dieser Vorteil bis zum Schluss größer.
nicht die Reibung spielt hier eine Rolle, sondern das Trägheitsmoment des Balls. Dass der Ball rotieren muss, um vorwärts zu kommen, macht den Unterschied.
Bei langsamen Tempo zu wesentlich höherem Anteil die Haftreibung.
Ohne jegliche Reibungen sollte ja beides gleich schnell sein.
hmm, warum steht dann hier, dass der Verlauf der Baristochronen UNABHÄNGIG der RotationsEnergie (also Gleiten vs. Rollen) ist?
https://de.wikipedia.org/wiki/Brachistochrone