Wann ist eine Matrix eindeutig diagonalisierbar?
Bzw. ist eine Matrix überhaupt eindeutig diagonalisierbar?
3 Antworten
Nicht jede Matrix ist diagonalisierbar. Wenn sie es aber ist, ist sie nicht eindeutig (die Diagonaleinträge sind eindeutig bestimmt, aber nicht ihre Reihenfolge). Den Begriff "diagonalisierbar" kenne ich nur im Bezug zu quadratischen Matrizen, also ist eine 4×2-Matrix schon deswegen nicht diagonalisierbar - es gibt aber ähnliche Zerlegungen, z.B. die Singulärwertzerlegung.
Eine (quadratische) Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis aus Eigenvektoren des jeweiligen Vektorraumes gibt. Die Einträge der Diagonalmatrix sind dann die Eigenwerte dieser Vekoren. Man nimmt also eine Basistranformation des Koordinatensystems vor, sodass die Darstellungsmatrix eine Diagonalform erreicht.
Es gibt auch noch weitere Kriterien, z.B. ist eine (quadratische) Matrix diagonalisierbar, wenn die algebraischen Vielfachheiten jedes Eigenwertes des charakteristischen Polynoms der Matrix gleich der Dimension des dazugehörigen Eigenraumes sind.
Jede hermitsche Matrix ist diagonalisierbar. Insbesondere ist damit auch jede positiv definite Matrix diagonalisierbar.
Eigenvektoren zu einem Eigenwert sind offensichtlich nicht eindeutig, da mit x auch immer alpha*x mit einem beliebigen Körperelement alpha Eigenvektor ist.Demzufolge ist die Diagonalisierung nicht eindeutig. Ob sich mit der Bedingung |x| = 1 für jeden Eigenvektor Eindeutigkeit erreichen läßt weiß ich nicht mehr.
Als Ergänzung wegen der Bemerkung von TBDRM: Die Diagonalmatrix D, zu der eine diagonalisierbare Matrix A ähnlich ist ist bis auf die Reihenfolge der Diagonalelemente eindeutig. Die Darstellung von A als S^-1*D*S ist es aus den von mir beschriebenen Gründen nicht.
Die Diagonalgestalt ergibt sich durch eine Basistransformation. Die Reihenfolge der Anordnung der Basis ist dabei beliebig. D.h. die Anordnung der Eigenwerte auf der Diagonalen ist nicht eindeutig.
Die Diagonalmatrix ist doch eindeutig, sie besteht ja auch den Eigenwerten in der Diagonalen. Nur die Basis aus Eigenvektoren ist nicht eindeutig.