Wahrscheinlichkeitsrechnung?
Hallo werte Community,
Ich soll im Rahmen einer Hausarbeit über die Wahrscheinlichkeitsrechnung folgende auf Aufgaben lösen, wo ich aber nur bedingt weiter komme.
Aufgabe:
Als Prüfung steht einem Studierenden ein Multiple Choice Test bevor. Auf Grund des schwachen Designs dieses Tests hat man durch zufälliges Wählen der Antworten eine 20%ige Chance, den Test zu bestehen (selbst wenn man also gar nichts von der Materie versteht.)
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, an einem von drei Prüfungsterminen die Prüfung zufällig zu bestehen (Gehen Sie hierbei realistisch vor: sobald Sie die Prüfung bestanden haben, findet kein weiterer Termin statt.).
b) Wie viele Prüfungstermine wären nötig, dass die Wahrscheinlichkeit diese Prüfung zufällig zu bestehen, auf über 60% steigt?
c) Ein einzelnes Beispiel dieser Prüfung besteht aus 5 möglichen Antworten, von denen 2 richtig sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eine einzelne Frage zufällig gänzlich richtig zu beantworten?
Bei Aufgabe a würde ich denke, dass er ja im ersten Termin 0,2, beim zweiten Termin 0.8*0.2 und beim dritten Termin 0.8*0.8*0.2 hat was in Summe 0.488 also ca 49 Prozent ergibt? Liege ich da falsch?
Bei Aufgabe b komme ich überhaupt nicht weiter.
Bei Aufgabe c, ist das wie bei Kombinatorik ziehen aus der Urne von 5 Kugeln und 2 ziehen ohne zurücklegen?
Vielleicht kann mir ja jemand helfen. Vielen Dank.
2 Antworten
Hallo,
Aufgabe a hast Du richtig. Aufgabe b ist dann einfach. Du machst einfach so weiter, bis Du auf einen Wert von über 0,6 kommst, addierst zum Bisherigen also 0,2*0,8^3, wenn das nicht reicht, dazu noch 0,2*0,8^4 usw., bis es paßt.
Bei Aufgabe c lagst Du schon ganz richtig. Es gibt 5 über 2 gleich 10 unterschiedliche Möglichkeiten, zwei aus fünf Elementen auszuwählen, wenn diese alle unterschoedlich sind. Die Wahrscheinlichkeit, zufällig die richtige Kombination zu treffen, liegt also bei 1/10.
Herzliche Grüße,
Willy
bnn gibt es nicht, weil es nach dem Bestehen keinen weiteren Test mehr gibt.
Bei drei Versuchen hast Du also entweder bei b, bei nb oder bei nnb bestanden.
Die Gesamtwahrscheinlichkeit ist dann die Summe dieser drei Einzelwahrscheinlichkeiten.
Du kannst übrigens auch eine Summenformel für Aufgabe c entwickeln, denn die Reihe 0,2*0,8^0+0,2*0,8^1+0,2*0,8^2+...+0,2*0,8^n ergibt nach Ausklammern der 0,2 die geometrische Reihe 0,2*(0,8^0+0,8^1+0,8^2+...+0,8^n), wobei der Ausdruck in der Klammer durch die bekannte Summenformel einer geometrischen Reihe ersetzt werden kann, nämlich (1-0,8^(n+1))/(1-0,8). Der Nenner kürzt sich wegen der 0,2 vor der Klammer weg und es bleibt 1-0,8^(n+1) als Summenformel übrig. n entspricht hierbei der Potenz von 0,8, bis zu der Du die Reihe berechnen willst, während n+1 die Anzahl der erlaubten Versuche ist. Bei drei Versuchen kämst Du also auf die Wahrscheinlichkeit zu bestehen von 1-0,8^3=0,488, was Du ja auch in Aufgabe a berechnet hast.
Bei 5 Versuchen kommst Du auf 1-0,8^5=0,67232, bei vier auf nur 0,5904.
Du brauchst also fünf Versuche, um mit mindestens 60 % Wahrscheinlichkeit zu bestehen, vier wären zu wenig.
Wahnsinn danke.
Der Vorredner sagte:
ln(0,4)/ln(0,8)=4,106
Wie kommt man auf diesen Ansatz?
Danke für die Mühe.
Wenn Du 1-0,8^n=0,6 mit n als Zahl der benötigten Versuche über den Logarithmus nach n auflöst, kommst Du darauf.
Logarithmieren:
1-0,8^n=0,6. |+0,8^n-0,6
0,4=0,8^n
Umdrehen der besseren Lesbarkeit wegen:
0,8^n=0,4.
Logarithmieren:
ln (0,8^n)=ln (0,4)
Logarithmengesetz ln (a^b)=b*ln(a) anwenden:
n*ln (0,8)=ln (0,4) | :ln (0,8)
n=ln (0,4)/ln (0,8)=4,10628372.
Auf ganze Versuche aufrunden ergibt 5.
OK cool das hat mir mega geholfen vielen vielen Dank. Das ist echt gut nachvollziehbar erklärt worden. Danke sehr.
a)
Denk an das Gegenteil! Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, 3 mal hintereinander durchzufallen?
0,8*0,8*0,8 = 0,512
1-0,512= 0,488
Haken dran!
b)
0,8 hoch was ist kleiner 0,4?
Mit probieren kommt gut 4 raus, also aufgerundet 5.
Man kann auch rechnen ln(0,4)/ln(0,8)=4,106 wenn man es ultrakorrekt will, aber aufrunden muss man ja eh.
c) ist nicht klar genug formuliert. Weiß der Prüfling, dass er genau 2 Antworten ankreuzen muss? Das wäre realistisch gesehen eher selten. Wenn ja, dann sind es 5!/(3!*2!)=10 Möglichkeiten, wenn nicht, dann würde es echt kompliziert, daher nehme ich ersteren Fall an.
Danke dir. Also wäre bei b der Ansatz P(x>0.6) = 1- P(x<=40)?
Wie kommst du da auf den logarithmus Ansatz? Danke
Genau.
Der Logarithmus ist sozusagen die Suche nach dem Exponenten. Da ein Logarithmus mit der Basis 0,8 nicht auf dem Taschenrechner ist, nehme ich die ln-Funktion und teile durch ln(0,8), das ist dasselbe.
Z.B wenn Du keinen dekadischen Lg. hättest:
lg (1000)=3
ln(1000)/ln(10)=3
Also wäre Aufgabe c wie 6 aus 49 und die Wahrscheinlichkeit dazu dann 1/(49 über 6)? Also hier 1/(5 über 2)?
Du hast mir sehr geholfen vielen Dank.
Nur eine Frage wäre bei a der Ansatz die Summe aus den Möglichkeiten falsch zum Beispiel zu sagen bestanden b und nicht bestehen n
1 Termin bnn
2 Termin nbn
3 Termin nnb
Das heißt das wäre dann ja überall 3x(0.2*0.8*0.8) aber da kommt was anderes raus! Dachte nur der Ansatz passt ja nicht, weil ich ja nach einem bestehen keinen weiteren Versuch brauche. Deswegen der Ansatz s.o.
Mir geht's nur ums Verstehen.
Danke