Verschiebung kubischer Funktionen?
Guten Morgen!
Ich rechne gerade ein paar alte Aufgaben durch und komme bei folgender nicht weiter:
Woher weiß man, wie man die Funktion verändern muss, wenn man Punkte bzw Eigenschaften hat, denen man die Funktion anpassen soll, wenn man nicht genau weiß wie sie aussieht
Viele Grüße und danke im voraus!
5 Antworten
wenn man nicht genau weiß wie sie aussieht.
Ja , das ist Mathematik : Man muss es gar nicht wissen , nur die Regeln kennen , die man dann "stumpf" anwendet.
Beispiel
e^x
eine Einheit nach links e^(x+1)
eine Einheit nach rechts e^(x-1)
Mit Zahlen
bei x = 3 ist f(x) e^3
man muss bei e(x+1) nun 2 ( 3-1 ) einsetzen
man muss bei e(x-1) nun 4 ( 3+4 ) einsetzen
um wieder auf e^3 zu kommen
was den genannten Verschiebungen entspricht !
.
Regel also : Anstelle des x wird ( x + - Verschiebung ) eingesetzt
geht selbstverständlich auch bei sin(x)
man sieht es deutlich.
.
Bei Polynomfkt ( wie deine hier ) kann man eine gleichzeitige Verschiebung in x und y Richtung nicht unbedingt so gut sehen. Vor allem , weil der Summand von + 8 auf +69 gestiegen ist
3 nach links , 10 nach oben
Woher weiß man, wie man die Funktion verändern muss, wenn man Punkte bzw Eigenschaften hat, denen man die Funktion anpassen soll, wenn man nicht genau weiß wie sie aussieht
Das muss man nicht wissen, wenn man streng analytisch (rechnerisch) vorgeht. Allerdings hilft es in der Tat, wenn man sich die Funktion graphisch vor Augen führtch mit einem Funktionenplotter:
...und sehe sofort, dass die Behauptung in a) stimmt.
Grundsätzlich gilt:
- alle Funktionen, die ausschließlich ungerade Potenzen enthalten, sind symetrisch zu ihrem Wendepunkt. Den kann man über die 2. Ableitung ermitteln.
- alle Funktionen, die ausschließlich gerade Potenzen enthalten, sind symetrisch zu einer senkrechten Geraden, die durch den Scheitelpunkt geht. Den Scheitelpunkt ermittelt man über die 1. Ableitung
- bei gemischten Potenzen kann die Funktion symetrisch sein, muss es aber nicht. Da hilft dann entweder ein Funktionenplotter oder der rechnerische Nachweis.
a) Hier soll nun der rechnerische Nachweis erfolgen. Dazu überlegen wir zuerst, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit eine Symetrie zu P(2/1) vorliegt. Danach rechnen wir aus, ob diese Bedingungen auch tatsächlich erfüllt sind.
Überlegung: Die Funktion ist genau dann symetrisch zu P(2/1), wenn bei gleichem Abstand x nach links und rechts von P auch ein gleicher Abstand in y-Richtung nach oben und unten von P rauskommt.
Das müssen wir nun mathematisch formulieren:
f(2 - x) - 1= -( f(2 + x) - 1)
Nun rechnen wir erstmal aus, was f(2 - x) - 1 ergibt:
f(2 - x) - 1= (2 - x)^3 - 6(2 - x)^2 + 8(2 - x) + 1 - 1
..und was f(2 + x) - 1 ergibt:
f(2 + x) - 1 = (2 + x)^3 - 6(2 + x)^2 + 8(2 + x) + 1 - 1
Mit
-x^3 + 4x = -(x^3 - 4x) ist damit die Bedingung:
f(2 - x) - 1= -( f(2 + x) - 1)
erfüllt.
q.e.d.
Funktionen dritten Grades sind immer zu ihrem Wendepunkt punktsymmetrisch.
Und wenn Du weißt, dass eine Funktion in einem bestimmten Punkt punktsymmetrisch ist, weißt Du auch, wie Du sie verschieben musst, damit sie an einem anderen Punkt (hier der Nullpunkt) punktsymmetrisch wird.
Allg. gilt:
Verschiebung f(x) um a nach oben: g(x) = f(x) + a
Verschiebung f(x) um a nach unten: g(x) = f(x) - a
Verschiebung f(x) um a nach links: g(x) = f(x + a)
Verschiebung f(x) um a nach rechts: g(x) = f(x - a)
b) der neue Graph sei g(x).
Dann gilt:
g(x) = f(x + 2) -1
g(x) = (2 + x)^3 - 6(2 + x)^2 + 8(2 + x) + 1 - 1 = x^3 - 4x (siehe Aufgabe a)
