Verdopplungszeit und dann verdreifachen?
Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabenstellung, Nummer a habe ich gelöst nur bei b happert es gewaltig. Wie soll das gehen?
5 Antworten
Aufgabe c.)
N(t) = N(0) * (1 + i) ^ t
Das nach i auflösen :
i = ((N(t) / N(0)) ^ (1 / t)) - 1
Nun i berechnen :
Nach 14 Jahren hat man jeweils das doppelte,
Es reicht aus t = 14 und N(0) = 1 und N(14) = 2 zu setzen.
i = ((2 / 1) ^ (1 / 14)) - 1
i = 0.050756638653219444...
Also :
N(t) = N(0) * (1 + 0.050756638653219444) ^ t
Aufgabe b.)
N(t) = N(0) * (1 + i) ^ t
Das nach t auflösen :
t = ln(N(t) / N(0)) / ln(1 + i)
Aus der vorherigen Aufgabe wissen wir, dass i = 0.050756638653219444... ist, außerdem können wir N(0) = 1 und N(t) = 3 setzen :
t = ln(3 / 1) / ln(1 + 0.050756638653219444)
t = 22.189475010096178...
Ein Jahr hat 12 Monate, also sind 0.189475010096178
Jahre 2.2737001211541363 Monate.
Also etwa / zirka alle 22 Jahre und 2 Monate verdreifacht sich der Energiebedarf.
Aufgabe a.)
Wir wissen, dass i = i = 0.050756638653219444 ist, also beträgt die jährliche Zuwachsrate zirka 5,07566... %
Aufgabe d.)
t = ln(3) / ln(1 + i)
Fang mit c) an! Also löse: 2 = (1+i)^14 nach i auf! (Tipp: 14te Wurzel)
Dann d): Löse 3=(1+i)^x nach x auf. (Tipp: der Logarithmus ist dein Freund!)
Dann ist b) drann mit der Formel aus d) ein Kinderspiel; einfach den Wert aus c) für i in die Lösung von d) einsetzen --> fertig
a) Die Antwort zu a ist 1+i. (natürlich das Ergebnis für i wieder einsetzen und ausrechnen!)
Wenn du (a) gelöst hast, hast du doch den (durchschnittlichen) jährlichen prozentualen Zuwachs p und damit die Gleichung:
V(t) = V(0) * (1 + p/100)^t (t = verstrichene Zeit in Jahren)
Nun setzt du dies gleich dem dreifachen Anfangsverbrauch:
V(t) = V(0) * (1 + p/100)^t = 3 * V(0)
also muss gelten: (1 + p/100)^t = 3
Nun musst du nur noch diese Gleichung nach t auflösen.
Der Energiebedarf wächst ja mit den Faktor 2^(t/14a). Also musst du den Faktor nur =3 setzen und dann auflösen:
3=2^(t/14a)
t/14a=lb(3)
t=14a*lb(3)
Wachstumsformel in einfacher Anwendung:
y = c aⁿ
y = Endwert c = Anfangswert a = Wachstumsfaktor n = Jahre
2c = c * a¹⁴ | /c
2 = a¹⁴
a = ¹⁴√2
a = 1,0507566 Einige Dezimalen mehr machen das Ergebnis genauer
Das ist der Wachstumsfaktor, und jetzt b)
b)
3c = c * aⁿ n gesucht / erst wieder kürzen
3 = aⁿ | einsetzen
3 = 1,0503566ⁿ | logarithmieren
n = log₁,₀₅₀₃₅₆₆ (3)
Man kann das errechnen:
n = log 3 / log 1,0503566 [ egal, welcher Logarithmus ]
n = 22,189 etwas mehr als 22 Jahre
Stimmt es?
1,0503566^22,189 ≈ 3 also das Dreifache.