Ungleichung lösen?
Müsste sich nicht das Quadrat und die Wurzel sich gegenseitig auflösen? In der Musterlösung steht, das Minus 9 und +9 die Lösungsmenge ist, ohne Lösungsweg.
6 Antworten
Mal abgesehen davon, dass es hier um eine Ungleichung geht und daher die Lösungsmenge der von Schachpapa genannte Bereich ist, möchte ich nur auf deine Frage "Wurzel, Quadrat" eingehen.
"Müsste sich nicht das Quadrat und die Wurzel sich gegenseitig auflösen?"
Ja, im allgemeinen sieht man das so.
ABER: Hier hast du aber eine Unbekannte x stehen. Wenn die negativ ist (was sie durchaus sein kann), ist das Quadrat positiv und daraus die Wurzel ergibt dann eine positive Zahl. Somiterkennt man, dass deine Aussage nur für positive Zahlen gilt.
Ja sie heben sich gegenseitig auf, aber da die Wurzel aus einer positiven reellen Zahl, was x² ist, immer deren Betrag ist gilt:
Daraus folgt:
Wurzel(x²) < +9
|x| < +9
|±x| < +9
±x < +1
1. +x < +9 | *(+1)
2. -x < +9 | *(-1)
1. x < +9
2. x > -9
=> -9 < x < +9
Das ist korrekt. Ich hatte da den Betrag aufgelöst.
Du kannst die |x| als eine Funktion von x vorstellen. Das heißt, dass wir um an x zu kommen die Umkehr-Funktion von |x| anwenden, also den Betrag rückgängig machen. Und dabei entsteht dieses eine "-" in "(2.)".
Wir haben:
|x| = ...
Wir wissen, dass der Betrag das Vorzeichen von x positiv macht,
also es vorher positiv aber auch negativ gewesen sein kann:
|x| = ...
|-x| = |x| = |+x|
Das heißt, dass wenn wir |x| umkehren, x sowohl positiv
als auch negativ sein kann:
Wurzel(x²) < +9
|x| < +9
(1.) |+x| < +9 | Betrag umkehren
(2.) |-x| < +9 | Betrag umkehren
(1.) +x < +9
(2.) -x < +9
Für reelle x gilt grundsätzlich:
√(x²) = │x│
Die Betragstriche sind wichtig, weil die Wurzelfunktion so definiert ist, dass sie keine negativen Ergebnisse liefert.
√(x²) = x gilt nur dann, wenn x≥0.
Für deine Aufgabe bedeutet das:
√(x²) < 9
│x│ < 9
=> Die Lösungsmenge ist das offene Intervall (-9,9)
Sicher, dass das die Lösungsmenge (mit nur 2 Elementen) war?
Richtig wäre das Intervall von -9 bis 9. Jeweils ausschließlich, also ]-9;9[
Also alle Werte zwischen -9 und 9.
Z.B. ist wurzel(-5)² = 5 < 9, damit gehört -5 zur Lösungsmenge
Müsste sich nicht das Quadrat und die Wurzel sich gegenseitig auflösen?
Nicht ganz, denn auch eine negative Zahl zum Quadrat ergibt eine positive Zahl und daraus die Wurzel ist wieder positiv. Wenn die sich einfach nur gegenseitig aufheben würden, würde die -9 als Grenze für x entfallen.
Daher ist die Lösungsmenge
-9 < x < 9
ich habe das probiert :
quadrieren und wieder die Wurzel ziehen
x² < 81
x < +-9
.
wegen quadrieren prüfen
damit fällt x < -9 weg
aber wo bleibt dann die andere Grenze . Wo ist mein Weg falsch ?
Streng genommen entspricht das ± nicht der Defintion der Wurzel. Das ist bloß bei der Lösung quadratischer Gleichungen so üblich, weils eben auch zu den beiden Lösungen führt.
Streng genommen müsste die Operation so gehen:
x^2 < 81
∣x∣ < 9
1) die Wurzel aus 81 ist nur 9, nicht -9
2) die Lösung ist falsch, da z.B. x =-10 keine Lösung der Aufgabe ist,
obwohl -10 < +-9
Der Betrag sorgt dafür, dass ich keine -x bekomme. Im Punkt 2 hast du aber ein -x