Thema Komplexe Zahlen Seminararbeit?

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4 Antworten

Will man eine Beziehung zwischen harmonischen Schwingungen und den komplexen Zahlen herstellen, so benötigt man hierzu die "Euler´sche Identität":

e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) 

, welche aus der Potenzreihenentwicklung der Exponentialfunktion und denen des Kosinus und Sinus gewonnen werden kann. Dies findet beispielsweise intensive Anwendung in der komplexen Wechselstromrechnung, in der die harmonischen Wechselgrößen durch rotierende komplexe Drehzeiger dargestellt werden. Um dir eine Idee zu geben, hier ein Beispiel:

Betrachte einen RC Tiefpass bestehend aus einer Reihenschaltung von einem ohmschen Widerstand und einem Kondensator, siehe Bild:

https://de.wikipedia.org/wiki/RC-Glied

Das Verhalten von den einzelnen Bauteilen bezüglich des Zusammenhangs des Stromes der durch das Bauteil fließt und der Spannung die über das Bauteil abfällt wird beschrieben durch sogenannte Bauteilgleichungen:

Ohm´scher Widerstand:   u = R*i   

Kapazität:                  C*(du/dt) = i

mit ohmschen Widerstand R, elektrischer Kapazität C, Spannung u und Strom i. Für die Spannung die über den Kondensator abfällt gilt:

ue  = ua + RC dua/dt 

Mit Eingangsspannung ue und Ausgangsspannung ua. Sei nun gegeben:

ue(t) = cos(wt)*u    , Spannungsamplitude u und Kreisfrequenz w.

--> cos(wt)*u = ua + RC * dua/dt 

Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Diese zu lösen ist eine einfache Übung. Wir können nun schreiben (im Folgenden soll zur Vermeidung von Verwechslungen die imaginäre Einheit i, wie in der Elektrotechnik üblich, als j geschrieben werden):

ue(t) = Re{ u*e^(jwt) } , wobei Re{ ... } den Realteil bezeichnet, man vergleiche dazu einfach mit obiger angegebener Identität. Wir müssen an dieser Stelle wissen, dass die Lösung einer solchen Gleichung bei harmonischer Anregung ebenfalls harmonisch ist mit gleicher Kreisfrequenz. Dies bedeutet, wir können ua(t) angeben zu:

ua(t) = A*cos(wt + P)

, mit Spannungsamplitude A und Phasenverschiebung P. Diesen können wir nun ebenfalls analog zu oben schreiben zu:

ua(t) = Re{ A*e^(j(wt + P)) } = Re{ [A*e^(jP)]*e^(iwt) }

mit dem Komplexen Spannungszeiger Ae^(jP) = Ua 

Mithilfe dieser Ansätze erhalten wir bei der Berechnung im komplexen:

ue^(jwt) = Ua * e^(jwt) + RC* jw*Ua*e^(jwt)  II * e^(-jwt)

--> u = Ua + jwRC * Ua = (1 + jwRC)Ua

Gesucht ist nun der  komplexe Spannungszeiger Ua, wir erhalten diesen zu:

Ua  = u/(1 + jwRC) = u/(1 + (wRC)²) * (1 - jwRC)

Damit folgt die Amplitude zu: |Ua| = u/sqr(1 + (wRC)²)

Der Phasenwinkel P folgt dann zu: P = - arctan( wRC )

Wir erhalten damit als komplexen Drehzeiger:

Ua = u/sqr(1 + (wRC)²) * e^(-j*arctan(wRC))

Einsetzen in unsere anfängliche Gleichung für ua(t) liefert uns dann:

ua(t) = u/sqr(1 + (wRC)²) * cos(wt - arctan(wRC))

Somit hätte man über den Umweg der komplexen Zahlen die Lösung berechnet. Aus dieser Darstellung über die komplexen Zahlen folgt auch eine starke geometrische Komponente und es folgen viele Interessante Darstellungsweisen und Ergebnisse.

Dem ganzen liegt die Theorie der Fourie-Analyyse und Transformation zu Grunde. In dieser werden (nahezu beliebige) periodische Signale endlicher Periode als auch aperiodische (Signale mit Periode unendlich) auf ihre harmonischen Komponenten Untersucht. Somit lässt sich beispielsweise beinahe jede periodische Funktion als Summe von gewichteten komplexen Drehzeigern (e^(jwt) ) unterschiedlicher Frequenz schreiben. Für mehr Informationen:

 (Wikipedia)

https://lp.uni-goettingen.de/get/text/4937

 http://www.mathe-online.at/mathint/fourier/i.html

Eine weitere "Verallgemeinerung" erfährt dann die Fourietransformation wenn das Signal zusätzlich auch auf sein Abklingverhalten untersucht wird. Dies führt zu der in vielen Anwendungsgebieten äußerst wichtigen Laplace-Transformation:

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation

http://matheplanet.com/default3.html?call=article.php?sid=504&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F

http://public.fh-wolfenbuettel.de/~riegler/Mathematik3/laplace.pdf


Vielleicht ist ja etwas Interessantes dabei.


Wenn es um die 11. Klasse und um das Thema komplexe Zahlen geht, und du noch einen Bezug zur Physik herstellen willst, dann empfehle ich dir den Zeigerformalismus aus der Elektrotechnik und die rechnerische Behandlung über komplexe Zahlen. Generell geht es um Wechselstrom und die Behandlung von induktiven und kapazitiven Widerständen sowie effektiven Leistungen und Blindleistungen etc. Beispiel: Warum kann man keine Wechselspannungsleitungen über Tausende Kilometer mit einer Spannung von 1000000V verwenden, indem man wie üblich Wechselstrom benutzt usw.

Die Themen lassen sich gut verbinden und sind noch vergleichsweise einfach.

Wenn ich paar Jahre in die Zeit zurückreisen könnte und in deiner Situation wär, würde ich den gedämpften harmonischen Oszillator machen. Und zwar gibt es bei ihm 3 Fälle:

Einmal ist die Dämpfung kleiner als die Eigenfrequenz des Pendels, einmal ist sie gleich und einmal größer. Wenn die Dämpfung gleich bzw. größer ist, ist die Lösung der DGL reell. Ist sie aber kleiner, dass ist sie imaginär. Und das wäre der Punkt, an dem die imaginären Zahlen ins Spiel kommen.

Hier nützliche Quellen:
http://www.physik.uni-halle.de/~tpobx/harmOszi-gedaempft2-2.pdf

Dort findest du unter 2. den harmonischen gedämpften Oszillator und im Punkt 2.1 den Fall, wenn die Wurzel negativ wird, also wenn die Dämpfung geringer ist als die Eigenfrequenz. Dann wird die Wurzel negativ und die Lösungen imaginär.

Wenn du wirklich mathematisch interessiert bist: Sehr interessant wäre, mal darüber zu referieren, ob es nicht besser wäre, statt der Komplexen Zahlen (die entsprechende) Clifford-Algebra benutzt.

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