Gleichungssysteme mit komplexen Zahlen?
Hallo
Wie kann ich ein solches Gleichungssystem mit komplexen Zahlen am schnellsten lösen ?
So sieht mein Lösungsweg aus, ist nicht komplett, alles ich habe versucht nach dem Substitutionsverfahren das Gleichungssystem zu lösen, aber das bracht zu viel Zeit und ich habe definitiv viele Flüchtigkeitsfehler gemacht
3 Antworten
Hi Aizah,
habe mir mal die Mühe gemacht:
aus der Gleichung (II.) => z1 = -2z2 + 6 – 5i (1)
aus Gleichung (III.) => z3 = 5z2 - 13 + 17i (2)
Setzen wir das nun in Gleichung (I.) ein:
i*(-2z2 + 6 – 5i) + z2 + (2 + i) * (5z2 - 13 + 17i)
-2iz2 + 6i +5 + z2 + 10z2 – 26 + 34i + 5iz2 – 13i -17 = -7
11z2 + 3iz2 = -7 -5 + 26 – 34i + 13i + 17-6i
(11 + 3i) * z2 = 31 – 27i
z2 = (31 – 27i)/(11 + 3i), da bleiben wir aber nicht stehen, sondern machen den Nenner reell, also ohne da i, indem wir sowohl Zähler als auch Nenner mit der konjugierten Zahl des Nenners multiplizieren, also mit (11 – 3i).
Demnach erhalten wir:
(31 - 27i)*(11 - 3i) / (11 + 3i) *(11 – 3i) =
=(341 -93i -297i - 81) /(121 + 9) = (260 - 390i) /130=
= 130 (2 – 3i) / 130 = 2 – 3i,
das war auch der schwerste Teil, nun geht es aber einfach:
wir setzen in (1) ein und erhalten z1:
z1 = -2(2 – 3i) + 6 – 5i
z1 = -4 + 6i + 6 -5i
z1 = 2 + i
dasselbe machen wir durch Einsetzen in (2) um z3 zu erhalten:
z3 = 5 * (2 – 3i) - 13 + 17i
z3 = 10 – 15i – 13 + 17i
z3 = -3 + 2i
Bitte frag mich, wenn Du einen Vorgang nicht verstehst!
LG,
Heni
vom algebraischen Rechenaufwand würde ich alle drei Verfahren als gleichwertig einstufen. Eine generelle Antwort kann man hier ohnehin nicht geben. Auf den ersten Blick hätte ich hier auch das Substitutionsverfahren gewählt. In Matrizenschreibweise hätten wir es hier mit einer eher schwach besetzten Matrix zu tun. Darum hätte ich auch das Substitutionsverfahren gewählt. Die Mühe des Rechnens bleibt einem nicht erspart. Im angehängten Bild habe ich einen kleinen Additionsfehler markiert.
Bei mir klappt Additionsverfahren bei komplizierten Gleichungssysteme meist erst richtig gut. Gleichssetzungsverfahren kann Ich allerdings immer empfehlen.