Streckenteilverhältnisse von Vektoren im Parallelogramm?

Hallo, habe Probleme mit einer Aufgabe zum Bestimmen von Teilstreckenverhältnissen (Vektorrechnung Leistungskurs Abi Semester 3)

Die Aufgabe lautet wie folgt:

In einem Parallelogramm teilt der Punkt S die Diagonale AC im Verhältnis 2:1. In welchem Verhältnis teilt der Strahl von B durch S die Seite DC

Hab davon grad noch eine Skizze angefertigt:

Kann mir da wer weiterhelfen, bin hoffnungslos verloren

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

drücke den Streckenzug AS+SE-DE-AD=0 in Vektoren a=AB und b=AD aus.
Dabei ist DE=r*a und SE=s*BE.

AS=(2/3) AC ist ja angegeben.

Du bekommst eine Gleichung mit lauter Summanden, die entweder a oder b als Faktor haben. a und b klammerst Du aus, so daß Du eine Gleichung nach dem Schema a*(x+y)+b*(p+q)=0 erhältst, wobei in den Klammern auch durchaus mehr als zwei Summanden stehen können. Die Summanden haben dann teilweise auch r oder s oder beide als Faktoren.

Der Witz der Sache ist folgender: Da a und b linear unabhängig sind, kann die Gleichung nur dann erfüllt werden, wenn sowohl (x+y) als auch (p+q) 0 ergeben, denn irgendetwas mal a plus irgendetwas mal b kann niemals Null werden, da a und b nicht auf einer Geraden liegen. Nur a*0+b*0=0.

x+y und p+q müssen also beide gleich Null werden.

p+q und x+y stehen natürlich hier nur stellvertretend für die wirklichen Summen, die sich ergeben, wenn Du die genannten Strecken durch Linearkombinationen der Vektoren a und b ausdrückst.

Zur Kontrolle:

r=1/2 und s=1/3.

Solche Aufgaben funktionieren immer nach dem selben Muster: Finde einen geschlossenen Streckenzug, der insgesamt den Nullvektor ergibt und in dem die zu bestimmenden Strecken vorkommen. Drücke alle Teilstrecken des Zuges in linear unabhängigen Vektoren aus. Klammere die beiden Vektoren aus dem Streckenzug aus und setze die Klammern, die so entstehen, gleich Null. So bekommst Du Gleichungen für die gesuchten Parameter.

Herzliche Grüße,

Willy