Stimmt das: Eine Funktion kann nicht gleichzeitig auf ihrem gesamten Definitionsbereich monoton und konvex sein?
3 Antworten
Nö, konvex bedeutet doch, dass wenn man zwei Punkte einer Funktion mit einander verbindet, die Verbindungsstrecke komplett oberhalb der Funktion liegt oder auf ihr drauf. Somit ist jede lineare Funktion mit Steigung ungleich 0 sowohl konvex als auch monoton.
Falls du ein weiteres Beispiel benötigst: f(x) = 1/Wurzel(x) müsste auch eine Funktion sein, die auf ihrem Definitionsbereich (IR+) sowohl monoton als auch konvex ist.
Bedeutet konvex in diesem Fall nicht, dass alle Punkte einer Funktion unterhalb einer solchen Verbindungsstrecke sind?
Ich hab auch gespickt :-D https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_und_konkave_Funktionen
Ja, meinem erster Ansatz habe ich die Definiton von Konvexität auf Mengen zugrunde gelegt. https://de.wikipedia.org/wiki/Konvexe_Menge
Meine Antwort musste ich deswegen geringfügig ändern.
Wenn die (offene) Verbindungsstrecke zweier Punkte des Funktionsgraphen komplett echt oberhalb des Funktionsgraphen liegt, spricht man gewöhnlich von "echt konvex". Der Begriff "konvex" lässt in der üblichsten Definition auch Strecken (und Halbgeraden und Geraden) als Teile eines Funktionsgraphen zu.
Ja, jede lineare Funktion. Allgemein gilt diese Aussage aber nicht.
x³ ist monoton, aber sicher nicht konvex.
Um die Aussage zu widerlegen reicht ein Gegenbeispiel. Ich wähle f(x) = x + 3
Und dann? Du hast wieder eine lineare Funktion gegeben. Für lineare Funktion kann man sagen, dass sie monoton und konvex sind. Für nichtlineare Funktionen aber nicht!
Hallo Slevi89, lies dir doch bitte noch einmal die Frage durch. Es wird behauptet, dass eine Funktion nicht gleichzeitig zwei Eigenschaften auf ihrem Def.-Bereich aufweisen kann.
Meine Schuldigkeit der Widerlegung ist getan, wenn ich ein Beispiel finde, bei dem die zwei Eigenschaften sehr wohl erfüllt sind.
Was es sonst noch an Funktionen gibt, bei denen die Aussage zutrifft, interessiert doch dann nicht mehr. Die Aussage kann keine allgemeingültige mehr sein, sobald ein Widerspruch gefunden wurde.
Das stimmt nicht. Eine Funktion kann überall konvex und monoton sein.
Beispiel: f(x) = 2^x
Hier z.B. https://rechneronline.de/funktionsgraphen/ kannst du solch eine Funktion zeichnen lassen und überprüfen.
f(x) = a^x ist für a>0, a≠1 sogar streng monoton und streng konvex.
Jede konstante Funktion f(x) = a ist (schwach) monoton und (schwach) konvex.
x² ist die Standardfunktion, die beim Öffnen der Seite angezeigt wird. Die zu zeichnende Funktion muss man ändern, wenn diese nicht x² ist. Wie man eine eigene Funktion auf jener Seite direkt verlinken kann habe ich noch nicht herausgefunden.
x² ist nicht monoton. Für x<0 fällt sie, für x>0 steigt sie.
Sorry, wenn ich hier etwa Falsches gesagt habe. Ich hatte irgendwo gelesen, dass sich die Begriffe der konvexen und konkaven Funktion auf das Verhalten gegenüber der x-Achse beziehe, ob sie von dieser weg oder zu ihr hin gekrümmt sei.
Laut Wikipedia-Artikel ist mit konvex hingegen gemeint, dass eine Kurve zwischen zweien ihrer Punkte immer unterhalb der Verbindungsstrecke liege. Das ist bei f(x)=x² natürlich der Fall.
Natürlich ist das eine Frage der Definition, und nach der, die ich zuvor mal gelesen hatte, war es anders.
Nein. Exponentialfunktionen bilden ein Gegenbeispiel.
Natürlich ist die Krümmung beispielsweise von e^{x} bei stark negativen x nicht mehr erkennbar, aber die Funktion ist nach wie vor konvex und monoton, sogar streng monoton wachsend.
Die Funktion e^{-x} ist ebenfalls konvex. Sie ist streng monoton fallend, und zwar für alle reellen x.
Und nur für reelle Argumente ergeben diese Begriffe überhaupt Sinn. Für komplexe Argumente sind zumindest mir keine entsprechenden Begriffe bekannt.
Vielleicht sollte es aber „konkav“ heißen.
Vielen Dank. Ein Gegebeispiel reicht hier tatsächlich. Doch durch die Erklärungen und Diskussionen verstehe ich es auch besser und das ist ja auch der Sinn der Sache. Ich hatte mir das bei Wiki auch angeschaut aber für mich ist das nicht so verständlich. Dafür aber mathematisch korrekt, leider nützt mir das dann nichts :(
Mit euren Erklärungen verstehe ich es schon :)
Jedenfalls fast ;)