Spiegelung im dreidimensionalen Raum - Matrix erstellen?

Hi, befasse mich gerade mit der Aufgabe hier und hätte nur ne kurze Frage dazu:

Bestimmen Sie die Matrix der folgenden linearen Abbildung R^3 -> R^3 bezüglich der Standardbasis: Spiegelung an der Ebene E mit E: x1+x2-2x3=0

Also ich hab davor eine Aufgabe bei der es um Spiegelung im 2-dimensionalen an einer Geraden ging einfach diese Householder-Formel hier benutzt(hatten die aber komischerweise nicht in der Vorlesung):

https://de.wikipedia.org/wiki/Householdertransformation

kann ich diese Formel also H=(...) jetzt auch einfach hier anwenden mit v=(1 1 -2)?

mfg

Answer 1

[michiwien22]

Wieso Formel? Das kann man ja ganz leicht überlegen...

Siehe Skizze:
Sei P ein Punkt auf der Ebene und X der zu spiegelnde Punkt. 

Der Vektor m ist dann die Projektion von (x-p) auf n mal n,
also (hier ist · das innere Produkt):

m = n { (x-p)· n }

Wir lesen ab:

x'-p + 2m = x-p

also

x' = x - 2m

bzw.

x' = x - 2 n { (x-p)· n }

Da die Ebene durch den Ursprung geht können wir P=(0,0,0) setzen:

x' = x - 2 n { x·n }

Daraus kannst du ganz leicht die Matrix ablesen...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium technische Physik, promoviert in Festkörperphysik

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[michiwien22]

           |  +2  -1  +2  |

R =  1/3 * |  -1  +2  +2  |

           |  +2  +2  -1  |

[RealAutism]

Ahh ok mit der Skizze hab ich es jetzt verstanden danke :) , aber ich habe ja gar keinen  zu spiegelnden Punkt gegeben, sondern nur den normalenvektor n ? 

[michiwien22]

@RealAutism

Eine Skizze MUSS man sich machen bei solchen Aufgaben ;-)

Die gesuchte Matrix R transformiert einen Punkt X = (x,y,z) in den Punkt X' = (x', y', z'):

X' = R · X

In der Aufgabe ist der Punkt X natürlich nicht explizit gegeben, da der Zusammenhang ja für alle Punkte gilt und nur R gesucht ist. Trotzdem kann man sich überlegen, was mit einem Punkt X passiert und erhält so die Matrix R.

[RealAutism]

@michiwien22

Achso ok alles klar, ich hab es mit mal mit der formel gemacht und kam nach 3 minuten auf diesselbe matrix ohne groß nachzudenken , in der klausur benutze ich lieber die formel geht um einiges schneller aber gut, es einmal verstanden zu haben ist auch nicht verkehrt ^^

[michiwien22]

@RealAutism

Das unter deinem Link angegebene Verfahren ist bei näherer Betrachtung völlig identisch zu meinem.

Answer 2

[michiwien22]

Der Normalenvektor ist

n = (1 | 1 | -2) / wurzel(6)

Daher ist der gespiegelte Punkt

x' = x - 2 n (x · n)

Das kann man dann ganz leicht auf eine symmetrische Matrixform bringen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium technische Physik, promoviert in Festkörperphysik

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[RealAutism]

Ok danke habe Spiegelungen nicht so ganz verstanden , welche Formel hast du da jetzt benutzt?

Answer 3

[Joochen]

Der Normalenvektor der Ebene, nämlich n =(1,1,-2), wird durch die gesuchte Spiegelungsmatrix S zum entgegengerichteten Vektor -n.

Vorschlag;
Drehe das Koordinatensystem durch eine Drehmatrix D so, daß n proportional zu (0,0,1) wird. Die Spiegelungsmatrix S1 ist dann eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen 1, 1, -1.
Im Originalsystem wird die Spiegelung dann durch die Matrix S = D^(-1) S1 beschrieben.

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[RealAutism]

Also aus der Spiegelung einfach eine 180 Grad Drehung machen?Aber wieso soll n proportional zum 3. Basisvektor werden und wie kommst du auf S1?  Kann ich denn nicht einfach diese Householder-Formel hier anwenden, weil hab in der Aufgabe davor schon eine Drehmatrix in R3 erstellt.

Answer 4

[poseidon42]

Projeziere Einfach die Punkte auf die Ebene.

Berechne den Differenzvektor zwischen Ebene und Punkt.

--> Neue Position des Punktes ist dann der Punkt auf der Ebene -/+

     Differenzvektor.

Das ganze kannst du dann noch in eine Matrix übersetzen und du bist fertig.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium der Elektrotechnik (Energie, Automatisierung)

Answer 5

[michiwien22]

Warum beschreibst du die Koordinatentransformation nicht einfach?

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium technische Physik, promoviert in Festkörperphysik

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[RealAutism]

Wie meinst du das jetzt genau? Drehungen hab ich verstanden in R2, R3 aber spiegelungen noch nicht so wirklich, deshalb dachte ich nimm ich einfach diese Formel, geht das nicht? 

[michiwien22]

@RealAutism

siehe Posting.