PQ Formel hat negative Wurzel?

7 Antworten

Funktioniert doch wunderbar:

-x⁴ - x² + 20 = 0
x⁴ + x² - 20 = 0
u := x²
u² + u - 20 = 0

Damit ist p = 1 und q = -20 und du kannst in die pq-Formel einsetzen:

u₁,₂ = -1/2 ± √(1/4 - (-20)) = -1/2 ± √(20,25) = -0,5 ± 4,5

Also ist u₁ = 4 und u₂ = -5.

Wenn du rücksubstituierst, also u wieder durch  ersetzt, erhältst du:

x² = 4 ∨ x² = -5, also x = ±√4 ∨ x = ±√-5.

Dass die Wurzel aus -5 reell nicht definiert ist, ist klar, dann bleiben von den vier möglichen Lösungen eben noch zwei übrig, nämlich -√4 und √4, also -2 und 2.

Das sind deine beiden Nullstellen.

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – Studium Mathematik

-x⁴ - x² + 20 = 0       Substitution: z = x²       Resubstitution: x = ±√z

-z² - z + 20  = 0    | /(-1)     Normierung, sonst p,q nicht möglich
 z² + z - 20  = 0                  p = 1     q = -20

z₁,₂ = -0,5 ±√(0,25 + 20)
z₁,₂ = -0,5 ± 4,5

Da bleiben beim Resubstituieren immer noch zwei reelle x übrig, sogar ganzzahlige. Die kannst du dann nehmen.

Woher ich das weiß:Eigene Erfahrung – Unterricht - ohne Schulbetrieb

Hallo xxPeke!

Die Lösungen sind korrekt und somit muss der Weg über die Substitution und anschließende pq-Formel auch funktionieren. Du hast also irgendwo mindestens einen Fehler drin!

-x⁴ - x² + 20 = 0

Substitution:

z = x²

-z² - x + 20 = 0 |:(-1)

z² + x - 20 = 0

Erst jetzt darfst du die pq-Formel anwenden! Hast du den Schritt auch beachtet? Dadurch ändern sich schließlich die Vorzeichen.

Für die pq-Formel:

p = 1

q = -20

Dabei haben wir direkt eine weitere Fehlerquelle. Da in der pq-Formel bereits "-q" steht und nun das q ebenso negativ ist, wird aus dem (-) und (-) wieder einmal (+). Das heißt, du schreibst im Radikand (Term unter der Wurzel) dann ... +20, nicht -20!

Am Ende darfst du nicht vergessen, die Resubstitution zu machen:

x = √z

Dabei auch an positive und negative Wurzel denken! 

Hast du deinen Fehler bereits gefunden?

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

Danke euch allen, das mit dem Vorzeichenwechsel ist mir übehaupt nicht in den Sinn gekommen  :D

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@xxPeke

Ein sehr häufiger Fehler halt ;)

Passiert auch sehr schnell, wenn man nicht immer dauerhaft 100% konzentriert bei der Sache ist. Solche Fehler mache ich bis heute noch ständig, wenn ich da 5 Stunden lang Klausur schreibe, passiert sowas halt auch mal. Aber ist immer noch das kleinere Übel ;)

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@TechnikSpezi

Und schon fällt mir wieder bei mir selbst der nächste Fehler auf -.-

Es sollte natürlich so aussehen:

-x⁴ - x² + 20 = 0

Substitution:

z = x²

-z² - z + 20 = 0 |:(-1)

z² + z - 20 = 0

Beim dick gedruckten habe ich x statt z geschrieben.... Sorry! ;)

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