PQ Formel hat negative Wurzel?

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7 Antworten

Funktioniert doch wunderbar:

-x⁴ - x² + 20 = 0
x⁴ + x² - 20 = 0
u := x²
u² + u - 20 = 0

Damit ist p = 1 und q = -20 und du kannst in die pq-Formel einsetzen:

u₁,₂ = -1/2 ± √(1/4 - (-20)) = -1/2 ± √(20,25) = -0,5 ± 4,5

Also ist u₁ = 4 und u₂ = -5.

Wenn du rücksubstituierst, also u wieder durch  ersetzt, erhältst du:

x² = 4 ∨ x² = -5, also x = ±√4 ∨ x = ±√-5.

Dass die Wurzel aus -5 reell nicht definiert ist, ist klar, dann bleiben von den vier möglichen Lösungen eben noch zwei übrig, nämlich -√4 und √4, also -2 und 2.

Das sind deine beiden Nullstellen.

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Hallo xxPeke!

Die Lösungen sind korrekt und somit muss der Weg über die Substitution und anschließende pq-Formel auch funktionieren. Du hast also irgendwo mindestens einen Fehler drin!

-x⁴ - x² + 20 = 0

Substitution:

z = x²

-z² - x + 20 = 0 |:(-1)

z² + x - 20 = 0

Erst jetzt darfst du die pq-Formel anwenden! Hast du den Schritt auch beachtet? Dadurch ändern sich schließlich die Vorzeichen.

Für die pq-Formel:

p = 1

q = -20

Dabei haben wir direkt eine weitere Fehlerquelle. Da in der pq-Formel bereits "-q" steht und nun das q ebenso negativ ist, wird aus dem (-) und (-) wieder einmal (+). Das heißt, du schreibst im Radikand (Term unter der Wurzel) dann ... +20, nicht -20!

Am Ende darfst du nicht vergessen, die Resubstitution zu machen:

x = √z

Dabei auch an positive und negative Wurzel denken! 

Hast du deinen Fehler bereits gefunden?

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Liebe Grüße

TechnikSpezi

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Kommentar von xxPeke
05.03.2017, 10:45

Danke euch allen, das mit dem Vorzeichenwechsel ist mir übehaupt nicht in den Sinn gekommen  :D

2

-x⁴ - x² + 20 = 0       Substitution: z = x²       Resubstitution: x = ±√z

-z² - z + 20  = 0    | /(-1)     Normierung, sonst p,q nicht möglich
 z² + z - 20  = 0                  p = 1     q = -20

z₁,₂ = -0,5 ±√(0,25 + 20)
z₁,₂ = -0,5 ± 4,5

Da bleiben beim Resubstituieren immer noch zwei reelle x übrig, sogar ganzzahlige. Die kannst du dann nehmen.

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Wechsle doch erst mal diie Vorzeichen:

u^2 + u - 20 = 0

Dies lässt sich wunderbar faktorisieren:

(u + ...) * (u - ...) = 0

Für u gibt es eine positive und eine negative Lösung. Wegen  u = x^2  (und x reell)  kommt das negative u nicht in Frage. Aus der positiven Lösung für u ergeben sich zwei mögliche Lösungen für x .

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da hast du dich möglicherweise nur verrechnet. Aus

u^2 + u - 20 = 0

macht die pq-Formel doch u = -1/2 +- wurzel(1/4 + 20)

also nix mit "negative Wurzel".

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Wenn man die Gleichung umformt, ergibt sich:
-(u²+u)=-20  /*(-1)

u²+u=20    /ausklammern von u

u(u+1)=20

und da man leicht erkennt, dass 4*5=20 ist, folgt daraus u =4
4=x²
x=+2 oder -2

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Schon versucht die vorzeichen umzukehren?

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