Schrödinger Gleichung - Aufgabe unverständlich?
Hallo.
Ich komme hier irgendwie nicht weiter. Leider habe ich überhaupt keine Idee, was ich hier machen kann. Auch die asynchrone Vorlesung hilft mir nicht weiter.
1. Schrödinger-Gleichung
Angenommen, die Wellenfunktionen Ψ1(x) und Ψ2(x) sind Lösungen der zeitunabhängigen Schrödinger-Gleichung
−((ℏ^2)/(2𝑚))*((𝜕^2*Ψ(𝑥))/(𝜕𝑥^2)) + 𝐸𝑃𝑜𝑡(𝑥)Ψ(𝑥) = 𝐸Ψ(𝑥) mit EPot = potentieller Energie. Zeigen Sie, dass dann auch Ψ3(x) = Ψ1(x) + Ψ2(x) eine Lösung ist. Diese Beziehung beschreibt das Superpositionsprinzip, das für die Lösungen aller linearen Differenzialgleichungen gilt.
Was repräsentiert bei der Anwendung der Schödingergleichung auf einen eindimensionalen Potentialtopf die kinetische und was die potentielle Energie? Wieviele Elektronen halten sich im Potentialtopf auf?
Jap, sieht etwas gruselig aus.
Viele Grüße
3 Antworten
Hallo MrFrage202,
anders als etwa die zeitabhängige SCHRÖDINGER- Gleichung
(1) (−ħ²𝜕²/(2m𝜕x²))ψ + Eₚ(𝑥)∙ψ = 𝜕ψ/𝜕t,
die im räumlichen Teil 2. und im zeitlichen Teil 1. Ordnung ist, ist die zeitunabhängige SCHRÖDINGER- Gleichung
(2) (−ħ²𝜕²/(2m𝜕x²))ψ + Eₚ(𝑥)∙ψ = E∙ψ
eine reine Differentialgleichung (DGl) 2. Ordnung und hat als solche üblicherweise 2 voneinander unabhängige Lösungen, eben ψ₁(x) und ψ₂(x). Häufig eliminieren die durch den Potentialverlauf erzeugten Randbedingungen eine der Lösungen, was hier aber definitionsgemäß nicht der Fall sein soll.
Quantik ist letztlich – auch – Lineare Algebra, und was wir in (2) vor uns haben, ist eine Eigenwertgleichung mit ψ₁(x) und ψ₂(x) als Eigenvektoren und E als gemeinsamem Eigenwert. Wenn aber ψ₁(x) und ψ₂(x) beides Eigenvektoren zum selben Eigenwert E sind, so ist auch jede Linearkombination
(3) ψ = z₁∙ψ₁(x) + z₂∙ψ₂(x), mit z₁, z₂ ∈ℂ
von ψ₁(x) und ψ₂(x) ein Eigenvektor zum Eigenwert E, insbesondere natürlich ψ₃(x) = ψ₁(x) + ψ₂(x).
Das ergibt sich auch aus der Summenregel für Ableitungen.
Was repräsentiert bei der Anwendung der Schödingergleichung auf einen eindimensionalen Potentialtopf die kinetische und was die potentielle Energie?
Die potentielle Energie steht da explizit. Die kinetische wird durch den Term (−ħ²𝜕²/(2m𝜕x²))ψ bzw. den Differentialoperator (−ħ²𝜕²/(2m𝜕x²)) repräsentiert, der für p̂ₓ²/2m steht, wobei
p̂ₓ = −iħ∂/∂x
der Impulsoperator ist.
Wieviele Elektronen halten sich im Potentialtopf auf?
Das gibt die SCHRÖDINGER- Gleichung nicht her. Das PAULI- Prinzip besagt allerdings, dass keine 2 Elektronen exakt dieselbe Wellenfunktion haben können. Die PAULI- Gleichung hat freilich einen zusätzlichen Term für den Spin, und die Lösungen sind nicht einfach Funktionen, sondern 2D- Vektoren von Funktionen von der Gestalt
Ψ = (z₁∙ψ₁(x) | z₂∙ψ₂(x)),
wobei |z₁|² + |z₂|² = 1 sein sollte.
Wow! Danke. Eigentlich bin ich Maschbauer - keine Ahnung, warum der Prof das und Thermodynamik lehren will. Therme kommt eigentlich erst in den höheren Semestern.
