Was ist mit Orthogonalität und Normiertheit bei der Wellenfunktion der Schrödinger Gleichung gemeint?

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3 Antworten

Bei Vektoren u, v des R³ (der übrigens ein Hilbertraum ist, da ein Skalarprodukt definiert und er vollständig ist, wer sagt, dass ein Hilbertraum abstrakt und unanschaulich sein müsse?) ist Orthogonalität dadurch definiert, dass ihr Skalarprodukt

(1.1) u·v = u₁v₁ + u₂v₂ + u₃v₃ = 0

ist. Anschaulich stehen die Vektoren dann in einem rechten Winkel aufeinander. Normiert heißt ein Vektor v, wenn seine Norm

(1.2) |v| = √{v·v} = √{v₁² + v₂² + v₃²} = 1

ist. Orthonormiert sind sie, wenn (1.1) und für beide Vektoren einzeln (1.2) gilt.

Die Wellenfunktion ist als Vektor in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum über C aufzufassen, bei denen die Summe in ein Integral übergeht. Zwei Wellenfunktionen ϕ(x,t) und ψ(x,t) heißen orthogonal, wenn

(2.1) ∫ d³x ϕ*(x,t)·ψ(x,t) = 0

und eine Wellenfunktion normiert

(2.2) ∫ d³x ψ*(x,t)·ψ(x,t) = ∫ d³x |ψ(x,t)|² = 1,

was die Interpretation von |ψ(x,t)|² selbst als Wahrscheinlichkeitsdichte möglich macht, ein Teilchen am Ort x zu lokalisieren. Orthogonalität bedeutet, dass es sich um zwei definitiv verschiedene Zustände handelt. Wenn man aus zwei solchen Zuständen einen dritten kombiniert, ist der zu keinem der beiden Ausgangszustände orthogonal, also jedem der beiden gleichsam näher als sie sich untereinander. Mit bindend und antibindend hat das erst einmal nichts zu tun.

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Die Wellenvektoren sind ja Elemente eines Hilbertraumes, das heißt es ist ein Skalarprodukt definiert und damit auch Orthogonalität (Psi1 und Psi2 sind orthogonal <=> <Psi1|Psi2> = 0) und eine Norm (vom Skalarprodukt induziert): ||Psi|| = Wurzel(<Psi1|Psi1>). Jetzt werden die Wellenfunktionen so mit einem geigneten Faktor multipliziert (normiert), dass stets ||Psi||=1 gilt.

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normiert:

Integral d³x |Psi(x)|² = 1

orthogonal:

Integral d³x Psi1*(x) Psi2(x) = 0

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Kommentar von physalis2012
30.11.2015, 20:17

Was bedeutet das dann wenn 1 oder 0 als ergebnis rauskommt?

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