Quadratische Ergänzung wie lösen?
Ich lerne seit so 2 Monaten mit dem Buch:
Vorkurs Mathematik: Ein Übungsbuch für Fachhochschulengerade als vorbereitung auf ein fernstudium.
Jetzt komm ich aber bei den gleich zweitem etwas größerem Thema Quadratische Ergänzungen schon nicht weiter.
Ich frage mich ob der Autor einfach zu schnell zu strikt alle muster zu erkennen vorraussetzt immer heißt es dann "...dann erkennt man natürlich dass" dabei ist das die erste Aufgabe auf seite 8 oder 9 und alle vorherigen Seiten sind nichts erklärend.
Einzig einleitend sagt er: dieses Buch setzt grundkenntnisse vorraus .
Ist es also als vorbereitung garnicht erst geeignet? Oder gibt es einsteigerfreundlichere?
Ich bin aus dem Abi 5 Jahre sowas raus aber traue mir schon zu mit etwas mehr hinleitung wieder in so Themen reinzukommen aber so ist das nichts .
Das Problem bzw eines der vielen an dennen es hängt:
Schreiben sie die folgenden Ausdrücke mit der quadratischen Ergänzung jeweils auf zwei verschiedene Weisen um. Überprüfen sie ihr Ergebnis durch ausmultiplizieren:
a) 64x^2 + 112x + 64
Mein ergebniss: (x+56)^2+8
Musterlösung: a) (8x+7)^2+15=(8+7x)^2+15x^2
Hoffe die schreibweise der hochzahlen ist so die richtige, habe es mehrfach gegengeprüft so steht es im buch auch die lösung mit 2 lösungen (war ja auch so gefordert natürlich).
Lösungsweg noch nachträglich
Ps: ich lernte über Seite mathebibel.de , nicht aus diesem buch: Normalform schaffen, absolutglied auf rechte Seite, Quadratische Ergänzung machen, binomische formel anwenden, wurzel ziehen .
Deshalb obiger lösungsweg so wie er ist.
6 Antworten
Puh... also dein Egebnis ist falsch, das sehe ich auf den ersten Blick. Schon dein Ansatz passt nicht richtig zur Aufgabe - warum setzt du den Term mit Null gleich? Und deine erste Umformung ist völlig falsch, die erste und zweite Zeile sind damit nicht äquivalent. Den Umgang mit Gleichungen solltest du dir unbedingt noch mal angucken.
Aber ich bleibe jetzt mal bei der Aufgabe und was beim Lösen in meinem Kopf so abläuft:
Auf diese Form hier möchte man ja zunächst mal hinaus kommen: a^2 + 2ab + b^2
Die erste Frage ist also, was ist hier das "a":
64x^2 + 112x + 64
Das x muss mit rein und in diesem Fall ist der Vorfaktor von x^2 praktischerweise eine Quadratzahl 64 = 8^2. Damit wäre a = 8x.
Dann guckt man auf den nächsten Term. Wie passen 2ab und 112x zusammen? Bzw. nachdem wir a = 8x haben, was ist b?
112x / 2 / 8x = 7
Also ist hier b = 7. Die quadratische Ergänzung machst du dann mit b^2 = 7^2 = 49, indem du diese im Term zunächst dazu addierst und gleich wieder abziehst, womit sich am Wert des Terms nichts ändert.
Aufschreiben und weiterrechnen würde ich das Ganze so:
64x^2 + 112x + 64
= (8x)^2 + 112x + 7^2 - 7^2 + 64
= ((8x)^2 + 112x + 7^2) - 49 + 64
= (8x + 7)^2 + 15
Das Problem an Mathe ist für viele, dass quasi alles aufeinander aufbaut. Wenn man irgendwo in den Grundlagen Lücken hat, hängt einem das permanet nach.
Mein Rat daher: Sei dir niemals zu fein, noch einen weiteren Schritt zurück zu gehen und das Thema aufzuarbeiten. Das mag zeitweise frustrierend sein und zeitraubend sowieso, aber wenn du es am Ende drauf haben willst, lohnt es sich.
Danke!
Ja das war mein Ansatz nachdem ich merkte ja selbst binomiache Formeln wollen nicht so wirklich
Dann aber gemerkt das buch hat nicht alles parat aber ja
Habe deine ansatz verglichen und kam jetzt auf die Lösung habe dieses rausziehen der Faktoren nicht bzw nicht mehr gewusst
Ebenso das die quadratische Ergänzung nicht bzw nicht immer links und rechts eines = stattfinden muss auch deswegen wohl oben das über links und rechts versucht zu lösen
Oman danke hat sehr geholfen tut gut doch was zu schaffen zu lösen
Schau dir das mal an. Sollte (hoffentlich) ohne weitere Erklärung klar sein, wenn du versuchst es nachzuvollziehen.
Allgemein willst du am Ende eine Form wie hier stehen haben. Warum das m= 64-b^2 ist, sollte aus dem ersten Bild verständlich werden.
du bist wirklich lange aus der Schule raus :))
denn schon die zweite Zeile hat Fehler ( die viele machen ) , die man erstmal erkennen muss
ja , es ist richtig durch 64 zu teilen
ABER man muss JEDEN der drei Summanden der linken Seite durch 64 teilen !
nächste Zeile wäre richtig so ( der "normale" Weg )*****
x² + 112/64 x + 1 = x² 19/8 x + 1
danach dann
( x + (19/8)/2 ) ² - (19/8)² + 1
=
( x + 19/16) ² - 361/64 + 64/64
=
( x+19/16)² - 297/64
So wird der Scheitelpunkt bestimmt
.
Im Buch werden aber schon Tricks angewandt
Man soll erkennen ,dass 64 = 8*8 ist
Dann kann man so anfangen ( 8x + ? ) ²
Damit man auf 112 x kommt , muss man aus 112 x = 2 * 8x * ? das ? bestimmen , was zur 7 führt für das ?
(8x+7)² - (7)² + 64
(8x+7)² - 49 + 64 , was dann hinten die +15 ergibt
Das ist zwar eine quadratische Ergänzung , aber nicht die übliche , mit der man den Scheitelpunkt einer Parabel bestimmt
.
.
der hintere Teil der Musterlösung ist für Anfängerinnen ohne weiteres gar nicht erkennbar und unüblich
(8x+7)^2+15=(8+7x)^2+15x^2
PS
Dein Ergebnis (x+56)^2+8 kann nicht stimmen ,was du durch Ausmultipizieren feststellen kannst
Ja hast du recht ; das merkt man erst wenn man es mal wieder versucht mit mathe ;) :)
Aber interessant. Auch du siehst und sagst dass da was unüblich kompliziert ist.
Ich guck nochmal wie schon gesagt in Ruhe darüber aber schade es scheint ein verkomplizierterer Ansatz zu sein vom Autor.
Er hat auch ungewöhnliche "info" wie möchtegernmathematiker streiten ob 0.999 nicht gleich 1 sei.
Oder auch
Durch 0 teilen nur die dummen (war doch so der satz?) Wer das tut ist wirklich das !
Kurzum wirkt es sehr überstreng von überpeniblem mathe Professor. Grade das was offen gesagt ich schon in Schule hatte mathe Lehrer der eher erzählt als dass ers erklärt und unterrichtet
Diese Division durch 64 ( die du völlig vermurkst hast) ist fehlleitend. 64 ist eine Quadratzahl, die kann gut so bleiben - vorne beim x².
Das Problem bei dieser Aufgabe ist, daß man erkennen muß, wie man auf die 112 kommt: 112 =2×56 und 56 ist 7×8.
Also erkennt man, daß hinten aus der 64 eine 49 werden muß, da 7×7=49 ist. Die hintere 64 spaltet man daher so auf: 64= 49+15 .
Im Ganzen:
64x²+112x+64 = 64x² + 112x + 49 +15
=(8x + 7)² +15 - multiplizier es aus, und du erkennst hoffentlich die Logik.
Die zweite Lösung beläßt hinten die 64 und reduziert vorne 64x² auf 49x² indem 15x² abgespaltet wird. Aber was das soll erschließt sich mir nicht. Diesen Term kann man zu nichts gebrauchen.
Ok ich versuchs dauert etwas aber ich versuchs nochmal.
64x² + 112x + 64
Den Faktor 64 bei x² ausdividieren, und erst mal ignorieren:
x² + 112/64*x + 1
Kürzen:
x² + 7/4*x + 1
Ergänzen:
x² + 7/4*x + [ (7/8)² - (7/8)²] + 1
Zusammenfassen:
(x + 7/8)² - (7/8)² + 1
(x + 7/8)² + 15/64
Jetzt wieder mit 64 multiplizieren:
64*(x + 7/8)² + 15
Dieses Dividieren durch 64 ist fehlleitend und macht alles viel komplizierter. 64 ist doch eine Quadratzahl. Damit sind wir doch glücklich und haben es ganz einfach.
Die Lösung (8x + 7)² + 15 entspricht nicht der allgemeinen Scheitelpunktform
a*(x - d)² + e.
Das ist richtig. Er hat aber auch nirgendwo geschrieben, daß es um die Analyse einer Parabel-Funktionsgleichung geht.
Sein Bilden einer Gleichung ....=0 kommt auch aus dem Nichts.
Ich hatte verstanden, daß es nur eine "Fingerübung" zur Quadratischen Ergänzung ist.
Ok dankesehr ich brauch immer bisschen zeit, es war vornherein Unsicherheit da woe gesagt das buch setzt sicher nicht ohne grund viel voraus- was frustriert bzw verunsichert stichwort binomische Formeln.
Gehe nochmal alles in Ruhe durch auch deinen Ansatz braucht nur etwas zeit