Prüfe durch rechnung, ob es einen kleinsten Flächeninhalt gibt. 2x²+x-6?
hey könnt ihr mir bitte erklären wie man das rechnet? Danke schon mal im vorraus :D
6 Antworten
Welche Stufe und welche Schulform besuchst du denn und bei welchem Thema seid ihr gerade?
Ich würde dabei jetzt zuerst an Dinge wie den Limes (Grenzwert) denken und somit x gegen 0 laufen lassen, irgendwie sowas war mein erster Gedanke.
Aber ob das beim Flächeninhalt und quadratischen Gleichungen überhaupt Sinn macht... weiß ich gerade nicht.
Ansonsten würden mir noch Dinge wie die Extremstellen einfallen, dass du also das Minimum / den Tiefpunkt ausrechest bzw. bestimmst.
Der Tiefpunkt ist hier, da es eine Parabel ist auch der Scheitelpunkt, also dort, wo die Steigung 0 ist. Eventuell muss dieser Punkt > 0 sein, denn ein negativer Flächeninhalt macht keinen Sinn.
Aber ich weiß wie gesagt nicht so wirklich ob das zur Aufgabe passt.
Habe nochmal etwas zur Antwort hinzugefügt.
Dann hast du von den Extremstellen auch nichts gehört richtig?
Aber den Scheitelpunkt bestimmen sollte drin sein, egal ob berechnen oder indem du die Parabel z.B. mit einer Wertetabelle zeichnest und dann einfach den Scheitelpunkt abliest.
Erst einmal zum Verständnis:
2 x² + x - 6 ist eine quadratische Funktion, d.h. der Graph ist irgendeine Parabel.
Der "kleinste Flächeninhalt", der durch diese Funktion beschrieben wird, ist also der kleinste Wert, den diese Funktion annehmen kann.
Gesucht wird also der Extrempunkt / Scheitelpunkt der Parabel.
Wie rechnet man das?
Version 1: Ableitung (falls ihr das schon habt)
f(x) = 2 x² + x - 6
f'(x) = 4 x + 1 = 0 => x = -0,25
Einsetzen in Funktion:
f(0,25) = 2 * 0,25² - 0,25 - 6 = -6,125
=> S (-0,25|-6,125)
Version 2: Durch quadratische Ergänzung in Scheitelform überführen
f(x) = 2 x² + x - 6 = 2 (x² + 0,5x) -6 = 2[(x² + 0,5x + 0,25²) - 0,25²] -6 =...
...= 2[(x+0,25)² - 0,0625] -6 = 2(x+0,25)² - 0,125 - 6 = 2(x+0,25)² - 6,125
=> S (-0,25|-6,125)
Version 3: Symmetrie der Parabel ausnutzen
Nullstellen nach Mitternachts-Formel:
a = 2, b = 1, c= -6
x(1,2) = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a = (-1 ± √(1 + 48)) / 4 = (-1 ± √49) / 4 = ...
... = (-1 ± 7) / 4 =>
x1 = -8/4 = -2
x2 = 6/4 = 1,5
Nachdem der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt:
x = (x1 + x2) / 2 = -0,25
Einsetzen in die Funktion s. Version 1
ABER: Ein negativer Flächeninhalt ist eigentlich sinnlos, daher vermute ich, daß Du beim Abschreiben einen Fehler gemacht hast.
Die Extremwerte bekommst Du, wenn Du die 2. Ableitung einer Funktion gleich Null setzt: y'' = 0 >> 4 = 0
Deine Funktion hat keinen Maximal- und keinen Minimalwert
Bevor man ein Ergebnis hinschreibt, sollte man es auf Plausibilität prüfen: Das wäre die allererste Parabel ohne Extremwert.
Kleiner Tipp:
1. Ableitung = 0 -> Extremwerte
2. Ableitung = 0 -> Wendepunkte.
1. Ableitung = 0 -> Extremstellen x
2. Ableitung von x -> Ergebnis < 0: Hochpunkt, > 0: Tiefpunkt
Du sollst halt überprüfen, ob es einen Tiefpunkt gibt.
Bei einer quadratischen Gleichung mit positivem x² - Faktor gibt es immer einen Tiefpunkt.
Man könnte es natürlich auch anders machen, aber die Aufgabe ist "überprüfe durch Rechnung"
Welcher Flächeninhalt sollte denn da gemeint sein. Diese Parabel hat 2 Nullstellen und der Scheitelpunkt ist unterhalb der x-Achse. Soll da ein Rechteck eingeschrieben werden? Gehört das überhaupt schon zum Stoff eurer Klasse?
Oder was ist das Ziel der Aufgabe?
realschule 9.Klasse also keine ahnung von limes und so :D