Potenzen mit negativen Exponenten Aufgabe Lösung?
Das ist eine Aufgabe die im Schulbuch zum Lösen stand. Im Lösungsheft steht, dass für diese Aufgabe "-ab" rauskommt. Jedoch komme ich immer auf "ab", wenn ich es rechne.
Kann mir bitte jemand erklären wie man auf die richtige Lösung kommt, und mir eventuell erklären, was ich falsch gerechnet habe?
Danke!
7 Antworten
erstmal den Nenner ausrechnen
a^-1 - b^-1 = 1/a - 1/b. Hauptnenner ab: b/ab - a/ab = (b - a) / ab
dann kommt das ab nach oben und es bleibt
ab * (a - b) / (b - a)
(a-b) und (b-a) kannst du kürzen wenn du -1 ausklammerst
ab * (a - b) / ((-1) * (a - b))
= ab / (-1) .... insgesamt = -ab
Man kann a^(-1) und b^(-1) jeweils zu 1/a und 1/b umschreiben.
Dann hat man (a-b)/(1/a - 1/b). Den Nenner bringt man dann auf einen Bruch und erhält (a-b)/[(b-a)/ab]. (a-b) wird also durch einen Bruch geteilt. Man teilt durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert und kriegt damit (a-b) * (ab)/(b-a). Nun ist (b-a)=-(a-b). Also kann man (a-b) kürzen und übrig bleibt -ab.
a^-1 ist nur eine andere Schreibweise für 1/a. Ich kann mich an eine ähnliche Formel im Bereich Elektrik erinnern. Aber das ist jetzt unwichtig. Ich versuche mal die Umformung hinzukriegen.
Im ersten Schritt wurden im Nenner Minuend und Subtrahend auf den gleichen Nenner gebracht. Im zweiten Schritt wurde der Bruch als Doppelbruch dargestellt, um anschließend den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners zu multiplizieren. Das vorangestellte Minus sorgt für einen Vorzeichentausch im Nenner. Zum Schluss kürzt sich der Bruch weg.
.
hilft das?
a^(-1)-b^(-1)=1/a-1/b = (b-a)/(ab)
Das jetzt im Nenner einsetzen:
(a-b)/[(b-a)/(ab)] = (a-b) * ab / (b-a) = -(b-a) * ab / (b-a) = -ab