Physikalische Formel umstellen Hilfe?
Weiß jemand diese Aufgabe zu bearbeiten bzw. auch einem Laien wie mir der verdammt schlecht ist zu erklären. Ich kenne mathematische Grundkenntnisse der Äquivalenzumformungen, alles ohne Zahlen und was mehr als x und Y ist ist mir zu viel. Lerne zur Zeit für einen Eignungtest.
lösungsweg chatgpt wird mir nicht ersichtlich auch wenn dieser auf die richtige Lösung kommt:
Um die Einheit der elektrischen Feldkonstanten ε₀ zu bestimmen, können wir uns an die Kapazitätsformel halten:
C = 4π ε₀ εᵣ ( 1/R₁ - 1/R₂ )⁻¹
Die Einheit der Kapazität ist:
[C] = A²·s⁴ / (kg·m²)
Die Radien R₁ und R₂ haben die Einheit:
[R] = m
Da der Ausdruck ( 1/R₁ - 1/R₂ )⁻¹ die Einheit von m (Metern) hat, folgt:
[ε₀] = C / ( 1/R₁ - 1/R₂ )⁻¹
[ε₀] = ( A²·s⁴ ) / ( kg·m² ) × ( 1/m )
= ( A²·s⁴ ) / ( kg·m³ )
Nun verwenden wir die Beziehung 1V = ( kg·m² ) / ( A·s³ ), um die Einheit umzuschreiben:
ε₀ = ( A²·s⁴ ) / ( kg·m³ ) = C / ( V·m )
= As / ( V·m )
Daher entspricht die korrekte Antwort der Option:
(B) As / (Vm)
3 Antworten
Wenn du mit anderen Symbolen als x und y (noch) nicht klarkommst, kannst du so lange "substituieren".
Hier brauchen wir erst mal die "elektrische Feldkonstante" (oft "Dielektrizitätskonstante" oder "Permittivität des Vakuums" genannt).
Ich verwende hier eckige Klammern [], um die Einheit einer Größe zu bezeichnen.
Am einfachsten ist es für die Kugelradien:
[R1] = [R2] = m
Die Einheit für C ist gegeben:
[C] = A^2 s^4 kg^-1 m^-2
(wenn nicht, müsste man sie herleiten aus der Definition der Kapazität:
C = Q / U
wobei Q = I * t ist, für konstanten Strom I)
Gegeben ist die Gleichung
C = 4 pi epsilon_0 epsilon_r (1/R1- 1/R2)^(-1)
Diese Gleichung überträgt sich nahezu 1:1 auf die Einheiten. (nur nahezu, weil Summen und Differenzen eine besondere Rolle spielen, z. B. ist m + m = m)
Die Differenz 1/R1 - 1/R2 stört also, außerdem spielt sie für die Einheiten keine Rolle.
(Addieren und Subtrahieren kann man nur gleichartige Größen - also Größen, die man mit derselben Einheit darstellen kann. Das ist hier offensichtlich erfüllt: sowohl 1/R1 als auch 1/R2 haben die Einheit m^-1.)
C = 4 pi epsilon_0 epsilon_r (1/R1- 1/R2)^(-1)
bedeutet also für die Einheiten:
[C] = [4] [pi] [epsilon_0] [epsilon_r] [(1/R1- 1/R2)^(-1)]
Erst mal die Differenz:
[1/R1 - 1/R2] = m^-1 - m^-1 = m^-1
[(1/R1 - 1/R2)^-1] = (m^-1)^-1 = m
also:
[C] = [4] [pi] [epsilon_0] [epsilon_r] m
einsetzen:
[C] = A^2 s^4 kg^-1 m^-2
[4] = [pi] = [epsilon_r] = 1
A^2 s^4 kg^-1 m^-2 = 1 * 1 * [epsilon_0] * 1 * m
Substitution:
x := [epsilon_0]
A^2 s^4 kg^-1 m^-2 = 1 * 1 * x * 1 * m
nach x auflösen:
x = A^2 s^4 kg^-1 m^-3
Rücksubstitution:
[epsilon_0] = A^2 s^4 kg^-1 m^-3
Sortieren (kg, m s, A, K):
[epsilon_0] = kg^-1 m^-3 s^4 A^2
Diese Einheit wird dummerweise nicht zur Auswahl gestellt, also müssen wir die vorgeschlagenen Einheiten umrechnen.
"keine Dimension" kommt schon mal nicht infrage, weil wir hier nur SI-Basiseinheiten haben, die sich nicht gegenseitig herauskürzen können.
In den übrigen Einheiten kommt als Nicht-SI-Basiseinheit das Volt vor.
Entweder schlagen wir in einer Tabelle nach, oder wir rechnen selber um. Dazu brauchen wir aber eine Beziehung zwischen Volt und anderen Größen. Glücklicherweise ist hier auch angegeben, wie das Volt umgerechnet wird:
[V] = kg m^2 A^-1 s^-2
Jetzt gehen wir die einzelnen Vorschläge durch:
(A): V m A^-1 s^-1
= (kg m^2 A^-1 s^-3) m A^-1 s^-1
= kg m^3 A^-2 s^-4
= kg m^3 s^-4 A^-2
passt nicht.
(B): A s V^-1 m^-1
= A s (kg^-1 m^-2 A^1 s^3) m^-1
= kg^-1 m^-3 s^4 A^2
passt!
Zur Sicherheit auch den Rest berechnen:
(C): V^-1 m^-1
= (kg^-1 m^-2 A^1 s^3) m^-1
= kg^-1 m^-3 s^3 A^1
passt nicht.
(D) 1
passt auch nicht.
(E) V s m^-2
= (kg^-1 m^-2 A^1 s^3) s m^-2
= kg^-1 m^-4 s^3 A^1
passt auch nicht.
Bleibt also nur
[epsilon_0] = (A s) / (V m)
fasse 1/r1 und -1/r2 zusammen zu
(r2 - r1)/(r1*r2)
dann wegen hoch-1 den Kehrwert bilden
dann steht Zähler die Einheit m² und im Nenner m
Kürzen zu m
.
4 , pi und eps_r sind bloß Zahlen
.
Was die Einheiten Betrifft steht da nun
C = eps_0 * m
A²*s^4/kg*m² geteilt durch m ist eps_0
A²*s^4/kg*m^(drei) muss die Einheit von eps_0 sein
.
Aber man muss noch V ins Spiel bringen
1/V = As³/kg*m²
und mit
A²*s^4/kg*m³ vergleichen
Im Zähler bleibt
As
und im Nenner m
Daher
1/V * As/m = As/Vm was (B) ist
Offensichtlich gilt bezüglich der Einheiten:
C * V = As
Daraus folgt:
C = As/V
Die Radien in der Klammer (1/R1 - 1/R2)^-1 haben die Einheit m²/m = m
Daraus folgt: e0 = C/m = As/(Vm)