Mittelwertsatz (Mathe)?
Bis zum Beweis verstehe ich alles. Nur danach verstehe ich die Formel von g(x) nicht ganz und den dreizeiligen Text darunter auch nicht. Kann mir das jemand erklären. Danke im Voraus :)
1 Antwort
Die Sekante ist die rote Gerade in der Zeichnung. Sie wird definiert als die Gerade durch die beiden Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)). Um die Gleichung dieser Geraden aufzuschreiben, wird die sogenannten Zweipunktefunktion (https://de.wikipedia.org/wiki/Zweipunkteform) benutzt: Eine Gerade durch zwei Punkte
( x_1, y_1) und (x_2, y_2) lässt sich durch die Gleichung
beschreiben. Genau das wird hier gemacht mit (x_1, y_1) = (a, f(a)) und (x_2, y_2) = (b, f(b)). Das ist der Ausdruck in der großen Klammer.
g wird jetzt gebildet als Differenz zwischen den ursprünglichen Funktion f und dieser Geradengleichung. Da die Sekante und die Funktion an der Stelle a und der Stelle b gleich sind (so ist die Sekante ja gerade ausgewählt worden), ist diese Funktion g an diese beiden Stellen = 0, also g(a) = 0 und g(b)=0.
g ist eine stetige Funktion, da f stetig ist (sonst könnte f nicht diff'bar sein) und die Sekante als Gerade auch stetig ist, und die Differenz zweier stetigen Funktion ist immer stetig.
Nach dem Satz von Weierstraß (https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_vom_Minimum_und_Maximum) nimmt eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ihr Maximum und Minimum an. Entweder g(x) ist auf ganz [a,b] gleich 0, dann ist f(x) überall gleich der Sekante und hat dann auch überall die gleiche Steigung und wir können die Stelle ξ frei wählen. Oder Maximum und Minimum liegen im offenen Intervall ]a,b[.
Da aber g(x) auch diff'bar ist, ist bei diesen beiden Extremstellen die Ableitung von g gleich 0. Ich kann z. B. annehmen, dass das Maximum an der Stelle ξ angenommen wird, dann ist g'(ξ) = 0. Und daraus folgt dann das weitere entsprechend.
