Maximum eines Integrals bestimmen mit Hochpunkten der Stammfunktion?
Hallo,
ich habe einmal eine Frage zur Integralrechnung der Mathematik.
Es geht um die Berechnung des Maximalen Flächeninhaltes. Wenn ich die Stammfunktion habe, muss ich dann einfach die Hochpunkte berechnen und kann dann mit den x-Werten den Flächeninhalt berechnen?
3 Antworten
Wenn f(x) die Funktion und F(x) die Stammfunktion davon ist,
dann findet man die Extrema von F(x)
(bzw. die Extrempunkte, also Hoch- und Tiefpunkt des Schaubilds von F(x))
durch Ableiten von F(x) und Nullsetzen der Ableitung.
Die Ableitung von F(x) ist f(x). Also Extrema bei f(x) = 0.
Beispiel f(x) = x(x²-1): F(x) hat Tiefpunkte bei ±1 und einen Hochpunkt bei 0. Und jetzt?
zu 1) Richtig: Extrema und Extrempunkte sind natürlich nicht synonym. Entschuldigung, wenn ich damit jemanden verwirrt habe.
zu 2) Wo zauberst Du bei einer gegebenen Stammfunktion das a her? Selbst wenn diese Untergrenze fest vorgegeben wäre, bleibt das Maximum bei 0 nur lokal. Mit a=-3 ist die Fläche bis x=-3 natürlich 0, bei x=0 ist sie nur -63/4, aber bei x=+3 ist sie schon +63/2 und wächst weiter.
Wir müssen hier nicht rätseln, wie die Aufgabe denn nun aussieht. Können wir uns aber generell auf Folgendes einigen:
- Bestimme eine globale Minimalstelle a und eine globale Maximalstelle b von F (dazu f(x)=0 und alle Ränder betrachten).
- Falls beide existieren und a≤b, dann ist F(b)-F(a) maximal.
- Falls nicht, wird's richtig hässlich ...
Ist möglich, kommt aber auf den genauen Sachverhalt an.
für welchen Sachverhalt ist das denn richtig?
also ich habe eine Formel zur Berechnung des FI mit der variable s.
Davon habe ich die 1. Ableitung, die 2. kann ich selber bestimmen...
außerdem ist angegeben, dass s>0 sein muss. Die Frage lautet: mit welchem u it der Flächeninhalt maximal? und Berechne diesen!
ach u ist s (sorry da habe ich mich vertippt) und FI ist FlächenInhalt :)
Wenn du den maximalen Flächeninhalt brauchst, musst du natürlich das maximum der Flächeninhaltsfunktion bestimmen.
Die ganze Aufgabe, bitte! Ein Flächeninhalt wird maximal, wenn der Startwert a minimal, und der Endwert b und die Funktion f maximal werden.
Ohne weitere Einschränkung gälte a=-∞, b=∞, f(x)=∞; es gibt dann kein Maximum. Und das von Dir erwähnte x>0 macht die Sache nicht einfacher...
Meine Glaskugel sagt, dass a und f vorgegeben sind, aber dann wird sie trüb...
1) Zur Bezeichnung: F(x) hat Minima bei x = ±1 und ein Maximum bei x = 0 und das Schaubild hat Hoch- bzw. Tiefpunkte.
(In der Mathematik nennt man das nicht Erbsenzählerei, sondern Exaktheit, nicht penibel, sondern korrekt).
2) Zur Frage ' und jetzt? ' Jetzt hast Du die Stelle, wo die Stammfkt. bzw. das unbestimmte Integral maximal ist; und wo das bestimmte Integral, also die Fläche von a bis x maximal ist. Den Maximalwert bekommst Du natürlich durch einsetzen von diesem x.