Mathe Vektoren?
Ich komme nicht ganz weiter. Kann jemand das vielleicht Schritt für Schritt erklären und durchgehen?
Aufgabe:
Eine Leuchtkugel fliegt vom Punkt P(4|0|0) geradlinig in Richtung des Punktes Q (0|0|3).
Eine zweite Leuchtkugel startet gleichzeitig vom Punkt R (0|3|0) und fliegt geradlinig in Richtung des Punktes T (0|0|7).
Beide Kugeln fliegen gleich schnell. Wie weit sind die Kugeln zu dem Zeitpunkt voneinander entfernt, bei dem die erste Kugel den Punkt Q erreicht?
Mein Ansatz:
Habe für beide Geraden eine Gleichung bestimmt
g:x= (4|0|0) + t • (-4|0|3)
g:x2= (0|3|0) + s • (0|-3|7)
Ich hab die Länge von PQ und TR berechnet und dachte ich könnte die Länge von PQ (5) in die zweite Geradengleichung einsetzen um auf den Punkt zukommen, an dem die zweite Kugel sich befindet. Kam jedoch nicht auf das richtige Ergebnis.
Du hast offensichtlich bei der Angabe des Punktes T einen Schreibfehler (Verwechslung der Ziffer 1 mit dem Trennzeichen | ).
Fällt mir grad auch auf. Dankeschön
2 Antworten
Bestimme zuerst den Abstand d von P und Q.
Da die zweite Kugel gleich schnell ist, musst du nun den Punkt A auf der Strecke von R nach T finden, sodass der Abstand zwischen R und A gleich d ist.
Das machst du so:
Bestimme den Vektor von R nach T und normiere ihn. Multipliziere ihn dann mit d. Du hast somit einen Vektor der länge d.
Wenn du nun den Vektor auf den Punkt R addierst, erhälst du den Punkt A.
Bestimme nun den Abstand von A und Q (denn die erste Kugel ist schon am Punkt Q, und die zweite an Punkt A) und du bist Feritg.
Kleiner Tipp:
Für solche Aufgaben ist es immer hilfreich, sich die Problemstellung zu skizzieren. Eine Skizze im 2 Dimesnionalen Raum reicht meist aus, es geht ja nur darum, sich eine Vorangehensweise herzuleiten.
Du normierst einen Vektor, indem du ihn durch seine Länge teilst.
Ich versteh den Sinn nicht ganz, wenn ich die Länge von PQ mit der von RT miteinander multipliziere:(
Das sollst du auch nicht machen.
Du nimmst den Vektor RT, normierst ihn (dann hat er die länge 1) und dann multiplizierst du ihn mit der Länge von PQ.
Du erhälst somit einen Vektor, der die selbe Richtung hat, aber nun eine andere lange hat, und zwar die von PQ.
Und damit kannst du nun den Punkt auf der Strecke bestimmen, der den Abstand |PQ| zu R hat.
Ist es jetzt klarer?
Nicht ganz irgendwie. Ich schau mir das jetzt gleich nochmal genau an, vielleicht krieg ich’s dann hin
Du willst am Ende einen Vektor haben, der eine bestimmte länge hat.
Das machst du, indem du zuerst den Vektor durch seine eigene Länge teilst, und dann den Vektor mit der gewünschten länge multiplizierst.
Wenn du nämlich einen Vektor mit einer positiven Zahl k multiplizierst, dann ver-k-facht sich auch die Länge von den Vektor.
Achso, ich soll den vervielfachen? Und sogar wenn die dieselbe Länge haben. Also ich kriege ja dann einen neuen Vektor. Wie hilft der mir genau?
Du erhälst einen Vektor, der die selbe Länge hat, wie der Vektor PQ.
Wenn du diesen Vektor auf R addierst erhälst du somit einen Punkt A, für den gilt, dass der Abstand zwischen P und Q gleich dem Abstand zwischen R und A ist.
Außerdem liegt A if der Verbindungsstrecke zwischen R und T.
A ist somit der Punkt, wo der zweite Lichtball ist, sobald der Erste Lichtball Q erreicht hat.
Beide bälle sind ja gleich schnell, somit hinterlegen beide Bälle in der selben Zeit die selbe Distanz zu ihrem Startpunkt.
Wie gesagt: skizziere es dir Mal im 2 Dimensionalen
Zunächst einmal sollten wir die Vektoren für die beiden Geraden berechnen. Dafür nehmen wir den Anfangspunkt der Geraden und ziehen davon den Endpunkt ab:
Gerade 1: Vektor von P nach Q ist (-4|0|3)
Gerade 2: Vektor von R nach T ist (1|-3|7)
Um nun die Entfernung der beiden Kugeln zu berechnen, wenn die erste Kugel den Punkt Q erreicht hat, können wir die Koordinaten des Punktes Q berechnen und dann den Abstand zwischen diesem Punkt und dem Punkt, an dem sich die zweite Kugel zu diesem Zeitpunkt befindet, berechnen.
Der Punkt Q liegt auf der Geraden 1 und hat daher die Gleichung:
Q = (4|0|0) + t * (-4|0|3)
Da wir wissen, dass die erste Kugel den Punkt Q erreicht, wenn t = 1, können wir die Koordinaten von Q berechnen:
Q = (4|0|0) + 1 * (-4|0|3) = (0|0|3)
Nun müssen wir die Koordinaten des Punktes berechnen, an dem sich die zweite Kugel zu diesem Zeitpunkt befindet. Dazu nutzen wir die Gleichung der Geraden 2:
x = (0|3|0) + s * (1|-3|7)
Da wir wissen, dass die zweite Kugel zum selben Zeitpunkt wie die erste Kugel den Punkt Q erreicht, müssen wir den gleichen Wert für s verwenden, also s = 1. Dann haben wir:
x = (0|3|0) + 1 * (1|-3|7) = (1|0|7)
Jetzt können wir den Abstand zwischen Q und x berechnen. Dazu nehmen wir den Vektor von Q nach x, also (1|0|7) - (0|0|3) = (1|0|4) und berechnen dann dessen Länge:
|(1|0|4)| = √(1² + 0² + 4²) = √17
Dies ist also die Entfernung zwischen den beiden Kugeln, wenn die erste Kugel den Punkt Q erreicht hat.
Aber eine Frage. Der Vektor von R zu T ist doch (0|-3|7). Die x1 Achse ist ja dann nicht 1. Und der Punkt Q (0|0|3) ist ja schon gegeben, wieso muss ich dann 1 einsetzen um ihn rauszubekommen, dass hab ich nicht genau verstanden. Und die Lösungen im Buch sagen der Punkt befindet sich bei (0|0.995|4,6771)
Ignorier bitte seine Antwort. Die ist nicht von einem Menschen Geschrieben, sondern von einer KI, die menschliche Texte imitiert und sehr fehleranfällig ist (ChatGTP)
Naja, die Texte sind hilfreich und wenn man die Frage konkret stellt richtig. Erkenne das Problem nicht
Texte die korrekt und von einem Menschen aussehen, aber Fehler enthalten, die man erst beim genauen hinschauen erkennt, sind nicht hilfreich sondern schädlich.
Wie gesagt. Die KI ist nicht dazu da um Aufgaben zu lösen. Die KI imitiert menschliche Texte, versteht aber dabei nicht, was darin steht.
Entschuldigung, es war ein kleiner Schreibfehler drin. Der Punkt T ist (0|0|7)
Vielen Dank. Aber was meinst du genau mit normieren? Ich versteh den Sinn nicht ganz, wenn ich die Länge von PQ mit der von RT miteinander multipliziere:(