Mathe Textaufgabe Kurvendiskussion?

Hey Leute,

Ich hänge seit ner Stunde an der Aufgabe und komme einfach nicht weiter… Ich habe sogar versucht verschiedene KI-Assistenten zu fragen ,aber die verstehen die Aufgabe jedesmal falsch. Kann mir jemand weiterhelfen.

Danke im Voraus…

Answer 1

[mihisu]

Bei der Aufgabenstellung befindet sich bereits eine Skizze, an der man sich orientieren kann.

Das Areal soll rechteckig sein mit den Seitenlängen l und x + 40 m. Für den Flächeninhalt des Areals erhält man...

$F=\left(x+40\,\text{m}\right)\cdot l$

Zur Verfügung stehen 100 m Zaun. Damit müssen abgesteckt werden...

• am vorderen Rand die Länge x,
• am linken Rand die Länge l,
• am hinteren Rand die Länge x + 40 m,
• am rechten Rand die Länge l,

und damit dann insgesamt also...

$x+l+\left(x+40\,\text{m}\right)+l$

Dies soll nun der zur Verfügung stehenden Zaunlänge 100 m entsprechen. Also...

$x+l+\left(x+40\,\text{m}\right)+l=100\,\text{m}$

$\rightarrow\quad x+l+x+40\,\text{m}+l=100\,\text{m}$

$\rightarrow\quad x+x+l+l+40\,\text{m}=100\,\text{m}$

$\rightarrow\quad 2x+2l+40\,\text{m}=100\,\text{m}$

[Das sieht jetzt evtl. aufwändiger aus, als es ist. Diese Gleichung 2x + 2l + 40 m = 100 m könnte man auch direkt ohne die vorigen Schritte hinschreiben.]

Im Moment hängt der zu maximierende Flächeninhalt F noch von zwei Unbekannten (x und l) ab. Man kann nun die Nebenbedingung 2x + 2l + 40 m = 100 m nach einer Unbekannten (bspw. l) auflösen und das in die Formel für den Flächeninhalt einsetzen, damit man den Flächeninhalt in Abhängigkeit von nur noch einer Variablen dastehen hat.

$2x+2l+40\,\text{m}=100\,\text{m}\qquad \left\lvert {}-40\,\text{m}-2x\right.$

$\rightarrow\quad 2l=60\,\text{m}-2x\qquad \left\lvert {} : 2\right.$

$\rightarrow\quad l=30\,\text{m}-x$

Hier kann man nun auch gut erkennen, dass x ≤ 30 m sein muss, da sonst die Länge l negativ wäre, was im Sachzusammenhang keinen Sinn ergeben würde. (Negative Längen ergeben keinen Sinn.) Genauso muss andererseits x ≥ 0 sein, wenn man sagt, der Farmer möchte die gesamte Mauer nutzen, nicht nur einen Teil der Mauer. Das merken wir uns für später.

Einsetzen von l = 30 m - x in F = (x + 40 m) ⋅ l...

$F=\left(x+40\,\text{m}\right)\cdot \left(30\,\text{m}-x\right)$

$F=x\cdot 30\,\text{m}+x\cdot \left(-x\right)+40\,\text{m}\cdot 30\,\text{m}+40\,\text{m}\cdot \left(-x\right)$

$F=30\,\text{m}\cdot x-x^2+1200\,\text{m}^2-40\,\text{m}\cdot x$

$F=1200\,\text{m}^2-10\,\text{m}\cdot x-x^2$

Diese Gleichung beschreibt nun eine quadratische Funktion, deren Maximum gesucht ist. Für den Definitionsbereich dieser Funktion haben wir, wie zuvor bereits beschrieben die Bedingung 0 m ≤ x ≤ 30 m gegeben.

Da gibt es nun unterschiedliche Möglichkeiten, je nachdem was für Lösungswege dir bekannt sind. Beispielsweise könnte man den Scheitelpunkt der quadratischen Funktion mit quadratischer Ergänzung finden. Wenn du bereits Ableitungen kennst, kann man auch die erste Ableitung bilden, und deren Nullstelle betrachten. Im Folgenden arbeite ich mit der ersten Ableitung...

$F(x)=1200\,\text{m}^2-10\,\text{m}\cdot x-x^2$

$F'(x)=-10\,\text{m}-2x$

$F'(x)=0\quad \Leftrightarrow\quad -10\,\text{m}-2x=0$

$\quad \Leftrightarrow\quad -2x=10\,\text{m}$

$\quad \Leftrightarrow\quad x=-5\,\text{m}$

Nun sollte man bemerken... Huch! Da erhält man einen negativen Wert. Das theoretische Maximum liegt außerhalb des für den Sachzusammenhang gegebenen Definitionsbereichs. Dementsprechend wird hier das Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs relevant.

Man kann bemerken, dass die erste Ableitung [F′(x) = -10 m - 2x] offensichtlich für alle x im Definitionsbereich negativ ist. Dementsprechend ist die Funktion F(x) streng monoton fallend. Den größten Funktionswert F(x) erhält man für den kleinsten x-Wert im Definitionsbereich also für x = 0. Dementsprechend erhält man...

• Der Fläche wird für x = 0 maximal.
• Die Seitenlängen des Rechtecks sind dann einerseits x + 40 m = 0 + 40 m = 40 m und andererseits l = 30 m - x = 30 m - 0 = 30 m.
• Der Flächeninhalt beträgt in diesem Fall F(0) = 1200 m².

[Bemerkung: Wenn man zulässt, dass man nur einen Teil der Steinmauer nutzt, so könnte man den Flächeninhalt noch ein wenig erhöhen.]