Kann mir jemand sagen was ich hier falsch gemacht hab die Lösung ist 0,5?
Ich soll den Grenzwert berechnen
Hast du vielleicht eine Aufgabenstellung?
Steht ja da
1 Antwort
Es scheint, dass der Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich berechnet werden soll. Die Funktion ist als Bruch gegeben, wobei sowohl Zähler als auch Nenner Polynome in x sind.
Die Lösung:
Die Lösung ist schrittweise dargestellt, jedoch gibt es einige Unstimmigkeiten und unvollständige Schritte:
- Erweiterung des Zählers: Der Zähler wurde korrekt als Quadrat einer Summe erweitert.
- Umstellung: Die Terme wurden umgestellt, um möglicherweise eine Vereinfachung zu erreichen.
- Grenzwertbildung: Es wurde der Grenzwert für n gegen unendlich gebildet, obwohl in der ursprünglichen Funktion kein n vorkommt. Dies ist ein klarer Fehler.
- Unvollständige Vereinfachung: Der letzte Schritt ist unvollständig und die Vereinfachung zum Ergebnis 1/2 ist nicht nachvollziehbar.
Die korrekte Aufgabe sollte lauten:
lim(x→∞) (x+1)² / (2x+5)
Lösungsweg:
Um diesen Grenzwert zu bestimmen, können wir folgende Methoden anwenden:
Methode 1: Höchste Potenz im Zähler und Nenner betrachten
- Sowohl im Zähler als auch im Nenner ist die höchste Potenz von x gleich 2.
- Wenn x gegen unendlich strebt, dominieren die Terme mit der höchsten Potenz.
- Daher können wir die anderen Terme vernachlässigen und erhalten:
lim(x→∞) (x²+2x+1) / (2x+5) ≈ lim(x→∞) x² / 2x = lim(x→∞) x/2
- Da x/2 für x gegen unendlich gegen unendlich strebt, ist der Grenzwert:
lim(x→∞) (x+1)² / (2x+5) = ∞
Methode 2: Division durch die höchste Potenz im Nenner
- Wir dividieren sowohl Zähler als auch Nenner durch x²:
lim(x→∞) (x+1)² / (2x+5) = lim(x→∞) (1+1/x)² / (2+5/x)
- Für x gegen unendlich gehen 1/x und 5/x gegen 0.
- Somit erhalten wir:
lim(x→∞) (1+1/x)² / (2+5/x) = 1²/2 = 1/2
Fazit:
Die korrekte Lösung hängt davon ab, ob die ursprüngliche Aufgabe tatsächlich lautete
lim(x→∞) (x+1)² / (2x+5).
- Wenn ja:Die Lösung ist entweder unendlich (Methode 1) oder 1/2 (Methode 2).
- Die Diskrepanz zwischen den beiden Ergebnissen könnte auf einen Rechenfehler oder eine unterschiedliche Interpretation der Aufgabe zurückzuführen sein.
- Wenn nein:Die gegebene Lösung ist fehlerhaft, da ein n eingeführt wurde, das in der ursprünglichen Aufgabe nicht vorkommt.
Bitte überprüfen Sie die Aufgabenstellung noch einmal genau und teilen Sie mir mit, ob ich Ihnen weiterhelfen kann.
Zusätzliche Hinweise:
- Graphische Darstellung: Eine graphische Darstellung der Funktion kann oft helfen, das Verhalten für große x-Werte zu visualisieren.
- L'Hospital'sche Regel: In einigen Fällen kann die L'Hospital'sche Regel angewendet werden, um unbestimmte Ausdrücke der Form 0/0 oder ∞/∞ aufzulösen.
Ich hoffe, diese Erklärung ist hilfreich für Sie!
Absolut richtig!
Wenn der Graph einer Funktion für x gegen unendlich immer weiter nach oben steigt, ohne eine horizontale Asymptote zu erreichen, dann bedeutet das mathematisch ausgedrückt, dass der Funktionswert y gegen unendlich strebt.
Visuell betrachtet:
Stell dir den Graphen als eine Straße vor, die immer steiler nach oben führt. Egal wie weit du auf dieser Straße läufst (wie groß x wird), du wirst immer höher steigen (y wird immer größer).
Formal ausgedrückt:
Wir schreiben dann:
lim(x→∞) f(x) = ∞
Das bedeutet: Der Grenzwert von f(x) für x gegen unendlich ist unendlich.
Warum ist das so?
Es gibt verschiedene Gründe, warum ein Graph gegen unendlich streben kann:
- Der Grad des Zählers ist größer als der Grad des Nenners: In deinem Fall scheint der Zähler einen höheren Grad zu haben als der Nenner, was typischerweise dazu führt, dass die Funktion für große x-Werte unbegrenzt wächst.
- Exponentielle oder logarithmische Funktionen: Diese Funktionen können sehr schnell wachsen oder fallen, was ebenfalls zu einem unendlichen Grenzwert führen kann.
- Asymptotisches Verhalten: Manchmal nähert sich eine Funktion einer bestimmten Geraden oder Kurve an, ohne sie jemals zu schneiden. In diesem Fall kann der Funktionswert ebenfalls gegen unendlich streben.
Fazit:
Wenn du dir unsicher bist, ob ein Graph gegen unendlich strebt, kannst du:
- Die Funktion analysieren: Schau dir die höchsten Potenzen von x im Zähler und Nenner an.
- Den Graphen zeichnen: Eine grafische Darstellung kann oft Aufschluss über das Verhalten der Funktion geben.
- Grenzwertsätze anwenden: Mathematische Sätze können helfen, das Verhalten einer Funktion für große oder kleine x-Werte zu bestimmen.
Wenn man sich den Graph anschaut, muss y gegen oo gehen.