Hallo, ich soll den Grenzwert berechnen. Ich verstehe nicht was ich falsch gemacht habe. Die Lösung ist 2? Es wäre nett wenn jemand drüber schauen könnte?

Answer 1

[verreisterNutzer]

Der Zähler ist $2^n-1\ =\ 2\cdot2^{n-1}\ -1$

Und damit $\lim_{n\to\infty}\ \frac{2^n-1}{2^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}\ \left(2\ -\frac{1}{2^{n-1}}\ \right)\ =\ 2\ -0\ =\ 2$

Dein Fehler:
Wenn Du im Nenner 2ⁿ abspaltest, dann bleibt 2^-1 = ½ übrig und dann ergibt sich:

$\frac{2^n-1}{2^n\cdot2^{-1}}=\frac{2^n\cdot\left(1-\frac{1}{2^n}\right)}{2^n\cdot\frac{1}{2}}=\left(1-\frac{1}{2^n}\right)\cdot\frac{2}{1}=2\ -\frac{2}{2^n}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$ Das ist dann auch das, was in meiner Rechnung steht.

Answer 2

[Halbrecht]

im Nenner entsteht beim Ausklammern

2^n * 2^-1 =

2^n * 1/2^1 =

2^n / 2 

Die 2 wandert dann in den Zähler

Answer 3

[naitram22]

Du kannst dir überlegen, was bei dem Bruch rauskommen würde, wenn du für n unendlich einsetzt.

$\frac{2^n-1}{2^{n-1}}$

wird zu:

$\frac{2^{\infty}-1}{2^{\infty-1}}=\frac{2^{\infty}}{2^{\infty-1}}=\frac{2}{1}$

Im Zähler die -1 kann man weglassen bei Grenzwertbetrachtung, weil die keine Auswirkung wirklich haben, im Nenner nicht, weil sie ja zur Potenz gehören.

Und dann bekommst du einen Bruch, wo im Zähler das Doppelte steht von dem Wert im Nenner. Das lässt sich dann zu 2/1 kürzen.

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Studium Informatik

Answer 4

[Neugierig1971]

der Fehler ist im Nenner:

2^(n-1)=(2^n)/2