Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen?
Radfahrer A startet bei Kilometer 350 mit Tempo 20km/h und fährt Radfahrer B entgegen. Dieser startet zeitgleich bei Kilometer 420 mit Tempo 25km/h. Beide Fahrer halten ihr Tempo konstant. Bestimmen sie grafisch und durch Rechnung den Zeitpunkt und den Ort, an dem die Radfahrer aneinander vorbeifahren.
Kann mir jemand bei der Rechnung helfen?
4 Antworten
Schaffst du den Graphen selber? eine Achse mit der Strecke und die andere mit der Zeit. Eine mit positiver Steigung und eine mit negativer Steigung. Da wo die sich schneiden fahren sie aneinander vorbei.
Zur rechnerischen Methode.
Die beiden sind 70km voneinander entfernt.
Man kann das relativ einfach lösen, indem man den einen Radfahrer stehen bleiben lässt und den anderen mit der Geschwindigkeit fahren lässt, die aus der Addition bzw Subtraktion der beiden Geschwindigkeiten herauskommt. 25kmh + 20kmh = 45kmh
mit t=s/v -> 70000m/12,5m/s kommen dann 5600s raus. Nach dieser zeit treffen sie sich.
Wenn du jetzt s=v*t -> 5,5m/s*5600=30800m
-> bei 380,8km treffen sich die beiden.
Wenn das mit deinem Graphen übereinstimmt hast du es richtig gemacht
Alternativ kannste das ganze auch lösen indem du die gleichungen der Graphen gleichsetzt
Lange ist's her, ich versuchs auch mal...
Graph
- x-Achse = Strecke in km
- y-Achse = Zeit in Stunden
Vorgehensweise
Es müssen zunächst Funktionsgleichungen für die beiden Radfahrer gebildet werden. Wenn man diese gleichsetzt, erhält man den Treffpunkt (Kilometer). Diesen wiederum in eine der beiden Gleichungen eingesetzt, liefert den Zeitpunkt des Treffens.
Lineare Gleichungen haben die Form y = m * x + b wobei m die Steigung ist und b der y-Achsenabschnitt. Sowohl m als auch b müssen für die beiden Radfahrer ermittelt werden. Um die Steigung m zu erhalten, betrachtet man zwei Punkte und teilt die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte. Um den y-Achsenabschnitt zu erhalten, setzt man einen der beiden Punkte zusammen mit der bereits ermittelten Steigung in die Standardgleichung ein.
Radfahrer A
- P1(350|0) [Der Radfahrer startet bei Kilometer 350]
- P2(370|1) [Nach 1 Stunde befindet sich der Radfahrer bei Kilometer 370]
Steigung m = (0-1) / (350-370) = -1 / -20 = 0,05
y = m * x + b | P1 und m einsetzen
0 = 0,05 * 350 + b | -b
-b = 17,5 | *(-1)
b = -17,5
==> f_a(x) = 0,05x - 17,5
Radfahrer B
- P1(420|0) [Der Radfahrer startet bei Kilometer 420]
- P2(395|1) [Nach einer Stunde befindet sich der Radfahrer bei Kilometer 395, da dieser in die entgegengesetzte Richtung fährt]
Steigung m = (0-1) / (420-395) = -1 / 25 = -0,04
y = m * x + b | P1 und m einsetzen
0 = -0,04 * 420 + b | -b
-b = -16,8 | *(-1)
b = 16,8
==> f_b(x) = -0,04x + 16,8
Gleichungen gleichsetzen
0,05x - 17,5 = -0,04x + 16,8 | +0,04x
0,09x = 34,3 | :0,09
x = 381,11
Berechneten x-Wert in f_a(x) einsetzen
y = 0,05 * 381,11 - 17,5
y = 1,56
Ergebnis
Die Radfahrer treffen sich nach 1,56 Stunden bei Kilometer 381,11.
Ein paar Hinweise:
Sie fahren mit unterschiedlicher, aber jeweils konstanter Geschwindigkeit v_A = 20 km/h und v_B = 25 km/h aufeinander zu. Die Entfernung s zwischen A und B beträgt 420 km - 350 km = 70 km. Es gilt:
(1) v_A = s_A/t_A
(2) v_B = s_B/t_B
Sie fahren gleichzeitig los und treffen sich, daher ist
(3) t_A = t_B
und
(4) s_B = 70 km - s_A.
(3) und (4) kann man in (2) einsetzen, sodass 2 Gleichungen mit den zwei Unbekannten s_A und t_A übrig bleiben. ...
zuerst ein x-y-Koordinatensystem zeichnen und auf der x-Achse die Punkte A und B eintragen
A va=20km/h=20.000m/3600s=5,555..m/s
B vb=25km/h=25.000m/33600s=6,944..m/s
aus der Zeichnung ergibt sich A fährt nach rechts und B fährt nach links
1) Sa=va*t+350.000m → 350km=350.000m
2) Sb=-vb*t+420.000m → 420km=420.000m fährt nach links,deshalb vb=negativ
Sa=Sb
va*t+350.000=-vb*t+420.000
va*t+vb*t=t*(va+vb)=420.000-350.000=70.000
t=70.000 m/(5,55m/s+6,94m/s)=5604,48 s ist die Fahrtzeit bis zum Treffpunkt
Treffpunkt aus 1) oder 2)
Sa=va*t+350.000m=5,55m/s*5604,48s+350,000m=381104,88m=381,10 km
Probe: Sb=-vb*t+420.000m=-6,94m/s*5604,48s+420.000m=381104,90m
stimmt bis auf Rundungsfehler.