Ist Mathematik logisch?
Wir ham in Pihlosophie die Aufgabe bekommen auf diese Frage zu antworten.
Ich finde Mathematik ist logisch. Meine lehrerin meinte das ist falsch :D Also ist mathe unlogisch?
11 Antworten
Findest Du es irgendwie logisch, dass 1+1=2 sein sollen?
Warum nicht gleich Tisch oder Stuhl oder 5?
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Und was sollen negative Zahlen eigentlich sein?
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Also, +5 Äpfel verstehe ich ja noch.
Aber -5 Äpfel? Gibt es nicht, bei Nichts =0 ist doch aller Lebenserfahrung nach Schluss, oder? Wo ist die lebenspraktische und/oder logische Relevanz von 5 mal nicht ein einziger Apfel? Und wie kann es sein, dass minus mal minus Plus ergibt? Also ich meine, ich nehme meine nicht vorhandenen 5 Äpfel und multipliziere die mit Deinen nicht vorhandenen 5 Äpfeln und heraus kommen genügend Äpfel zum Verschenken und Verfüttern an den Rest der Klasse. Den Zaubertrick mach mir mal vor.
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Fragen über Fragen ;-))
Nun ja .. ohne zu verstehen, wovon Du en detail redest ;-))
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Innerhalb eines gesetzten Axioms lässt sich doch ganz bestimmt alles sehr leicht herleiten, oder?
Ein Beweis ist dann aber streng genommen nicht, weil es ja sein eigenes Axiom zur Voraussetzung hat.
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So mal ganz mathedoof und rein alltagslogisch gesprochen ;-))
Beste Antwort weils für mich jetzt nur NOCH verwirrender ist , und weil ich Mathe ab jetzt UNLOGISCH find und damit in Philosophie für diese Einstellung volle Punktzahl bekomm. :D
Hab' Dank ;-))
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Es ist aber dann zu empfehlen, dass Du Dir eine gekonnt schizophrene Haltung zulegst .. eine für den Mathe-, und eine für den Philosophieunterricht. Meine Mathelehrer zumindest zeigten damals immer sehr wenig Humor bei solchen Fragen und beschieden mich mit der unkreativen Standardantwort "Das ist eben so".
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Ansonsten fand ich die Antwort von nobswolf sehr wertvoll und vielleicht sogar 'nen Kick "seriöser" als meine; sehr gut gefallen haben mir auch die Anmerkungen von "mopani" weiter unten :-D
Bessere Idee. Mathe und Philosophie verbinden. Dan muss man nur EIN Fach schwänzen statt zwei. :) die Antworten waren auch gut. Ich war auch sehr am überlegen. aber einen musst ich ja wählen. Also hats dich getroffen :)
Wenn 5 Leute in einem Raum sind und 10 kommen raus, dann müssen 5 wieder rein gehen, damit der Raum wirklich leer ist. Logisch, oder?
Also, +5 Äpfel verstehe ich ja noch.
Aber -5 Äpfel? Gibt es nicht
Ansich genommen richtig (logisch). Wenn man aber -5 Äpfel im Kontext sieht, kann es doch -5 Äpfel geben. Man könnte zum Beispiel -5 Äpfel als Mangel an 5 Äpfeln sehen.
Sei 0 der Zustand "satt" und ich 5 Äpfel essen muss, um satt zu werden, dann habe ich -5 Äpfel im Bauch. Das ist doch klar! ;-)
Man muss die Dinge immer im Kontext sehen und darf auch nicht denken, mathematische Überlegungen müssen real sein.
Wenn in einem Haus 8 Menschen sind, und 12 raus gehen, dann ist es vollkommen egal, ob sich 4 Menschen von einem anderen Planeten in die Türschwelle beamen, 4 Affen beim Hinausgehen einen Evolutionssprung zum Menschen machen oder die Gebäudewand so umgebaut wird, dass innen gleich außen ist. Das spielt für die Mathematik keine Rolle.
In der Mathematik gibt es auch 100-dimensionale Räume. Ein Philosoph kann sich darunter sicherlich nicht viel vorstellen und deswegen sind 100-dimensionale Räume unlogisch für ihn. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, ob man sich 100-dimensionale Räume (bildhaft) vorstellen kann.
OK, wenn ein Philosoph an den Axiomen zweifeln würde, dass könnte ich noch verstehen. Wenn er zum Beispiel sagen würde, dass logisch und unlogisch nur Wörter sind, die ihre Bedeutung durch den Menschen erlangt haben, dann könnte man auf sprachlicher Ebene auch sagen, es hätte genauso gut andersherum definiert werden können. Dann wäre Mathematik unlogisch.
Aber glaubt mal ja nicht, dass es ohne den Menschen keine Mathematik gäbe. Formeln werden nicht erfunden, sondern entdeckt. Ich zu meinen Teil glaube fest daran, dass die Rückseite der Sterne auch hell ist, selbst wenn keiner es gesehen hat. Das ist doch eine logische Schlussfolgerung, oder?
Als Letztes sollte man nicht vergessen, dass die Mathematik ihren Ursprung in der Physik findet und Physik auf REALE Beobachtungen fundiert. Kein Philosoph würde mir widersprechen, wenn ich behauptete, dass alles, was real ist, auch logisch ist, oder? Sieht man Physik als Teilgebiet der Mathematik an, ist Mathematik demnach zumindest zum Teil logisch. qed.
Die Schlüße aus den Axiomen sind dennoch logisch. nehmen wir mal an Äpfel sind gleich birnen, dann wären 3 Birnen + 5 Äpfel logischerweise = 8 Birnen = 8 Äpfel oder auch 4 Äpfel + 4 Birnen... Natürlich ist die Aussage Äpfel gleich Birnen nicht richtig, aber die mathematischen Schlußfolgerungen aus dieser Aussage sind richtig und logisch. Das Kommutativgesetz kann auch praktisch nicht unbedingt sinnvoll sein. Wenn in einem Raum 5 Leute sind und 6 gehen raus, wieviele Leute müssen rein gehen dass der Raum leer ist? Zuerst würde man sagen: So ein Quatsch das ist doch überhaupt nicht möglich dass 6 Leute rausgehen. Aber für einen MAthematiker ist es irrelevant ob die person vorher oder nachher rein geht denn nach dem Kommutativgesetz gilt: 5+1+(-6)=5+(-6)+1=0. Es gibt noc viele weitere verwirrende Beispiele.
Hier ist aber der entscheidende Punkt nicht die Logik sondern die richtige Wahl des Werkzeugs. Die Addition verschiedenartiger Objekte ist eine Art Vektorrechnung. Äpfel und Birnen sind unabhängige Skalen und daher verschiedenen Koordinaten im Vektorraum zuzuordnen. Wenn ich also Birnen als erste und Äpfel als zweite Koordinate bezeichne ergibt sich für 3 Birnen und 5 Äpfel
(3; 0) + (0; 5) = (3; 5)
Wobei dieser Vektorraum nicht orthonormal ist; was u.a. heisst, dass ich nicht einfach mit Pythagoras einen Betrag bilden kann. Das ist auch gleich ein schönes Beispiel dafür, dass Abstraktion die Dinge nicht unbedingt einfacher macht. ;-)
Das gleiche gilt auch im zweiten Beispiel. Natürliche Personen in echten Räumen sind halt durch die Natürlichen Zahlen zu beschreiben und nicht durch Ganze. Also ist ein negatives Ergebnis unzulässig. Die Operation an sich ist dann zwar kommutativ, aber je nach Zahlenwerten erhalte ich mal ein Ergebnis oder nicht.
Die Mathematik stellt halt "Werkzeuge" zur Verfügung. Und man ist schon selbst dafür verantwortlich das richtige Werkzeug zu benutzen. Eine Werkzeugkiste wird auch nicht "unlogisch" nur weil ich die Schraube nicht gescheit ins Holz kriege, so lange es es mit einem Hammer versuche.
Mathematik ist nicht inherent logisch, sondern konsistent. Das ist wohl das kleine Detail worauf Deine Lehrerin hinaus will.
"Logik" im Philosophischen Sinne bedeutet, dass es aus sich heraus zwingend folgt.
Mathematik baut aber auf Axiomen auf. Diese Axiome muss man als gegeben akzeptieren. Ein Ziel der Mathematik ist es, diese Axiome so grundlegend zu machen, dass sie intuitiv verstanden werden können. Aber auch das ist noch keine Logik im strengen Sinne.
"Logik" im Philosophischen Sinne bedeutet, dass es aus sich heraus zwingend folgt.
Das verstehe ich nicht, kannst du mir das bitte erklären oder ein Beispiel geben. Wie kann etwas aus sich selbst heraus gefolgert werden? Gäbe es dann nicht zirkuläre Bezüge?
Der Punkt ist, dass ein Gesamt-System gar nicht logisch sein kann. Man landet am Anfang immer an einem Paradigma, einem Axiom, einer Annahme oder einem "Glauben" ... oder eben einem Zirkelschluss.
Ich vermute das ist vielleicht ein Grundproblem unserer Existenz :)
Um so ein System aufzubauen, fängt man also bei etwas an, dass man als "wahr" annimmt (oder einfach also solches definiert). Und dann kann man z.B. mit Hilfe der Aussagenlogik bzw der Bool'schen Algebra daraus logische Schlüsse ziehen. Die sind dann aber alle nur so wahr wie die Annahme.
Diese erste Annahme sollte nun so grundlegend sein, dass man keine Schwierigkeiten damit hat, sie als Axiom zu akzeptieren. In der Mathematik sind z.B. wichtige Grundpfeiler die Peano'schen Axiome, die nichts anderes besagen als die simple Annahme, dass man Dinge abzählen kann. Und auf diesem simplen Axiom beruht alles was mit Zahlen zu tun hat, Numerik, Algebra, Analysis... also wirklich schon mal eine ganze Menge. Aber ohne so ein Axiom wäre es gar nicht möglich.
Zwei Fälle sind nun dabei problematisch:
1) das Axiom ist zu kompliziert; zu viele Leute verstehen es einfach nicht und können daher auch nichts davon akzeptieren was darauf aufbaut
2) das Axiom erweist sich einfach als falsch; es widerspricht der Realität, der praktischen Erfahrung oder es ist so kompliziert, dass es sich schon selber widerspricht
Bei Peano dürfte beides unwahrscheinlich sein. Aber es gibt philosophische Texte wo man 1) annehmen kann. Manchmal sind solche Axiome eben auch nicht für jeden gemacht, sondern setzen viel Vorwissen voraus. Die Gefahr dabei ist, dass solche Gebilde dann schlecht prüfbar sind.
Und die 2) ist in der Physik z.B. der Newton-Mechanik "passiert" als die Relativistik entdeckt wurde. Unter der erweiterten Annahme dass Newton eine Näherung für kleine Geschwindigkeiten ist, kann man solche Axiome dann auch "retten" damit die ganze Arbeit nicht für die Katz war.
Also eig. ist es ja logisch, da es endweder falsch oder richtig ist und wenn es richtig ist gibt es eine logische begründung dafür, aber anderseits sind, wie schon gesagt, die Zahlen und alles erfunden. Kannst es ihr ja mal so sagen, vielleicht hast du dann recht :)
Meiner Meinung nach ist der Fall keins von beiden, denn sind Ziffern, Formeln, etc. sind ja "erfunden" .
Die "berühmte" Regel - mal - ergibt + lässt sich relativ leicht aus den Ringaxiomen der ganzen Zahlen beziehungsweise den Körperaxiomen der rationalen oder reellen Zahlen herleiten.