Ist Mathematik logisch?
Wir ham in Pihlosophie die Aufgabe bekommen auf diese Frage zu antworten.
Ich finde Mathematik ist logisch. Meine lehrerin meinte das ist falsch :D Also ist mathe unlogisch?
12 Antworten
Findest Du es irgendwie logisch, dass 1+1=2 sein sollen?
Warum nicht gleich Tisch oder Stuhl oder 5?
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Und was sollen negative Zahlen eigentlich sein?
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Also, +5 Äpfel verstehe ich ja noch.
Aber -5 Äpfel? Gibt es nicht, bei Nichts =0 ist doch aller Lebenserfahrung nach Schluss, oder? Wo ist die lebenspraktische und/oder logische Relevanz von 5 mal nicht ein einziger Apfel? Und wie kann es sein, dass minus mal minus Plus ergibt? Also ich meine, ich nehme meine nicht vorhandenen 5 Äpfel und multipliziere die mit Deinen nicht vorhandenen 5 Äpfeln und heraus kommen genügend Äpfel zum Verschenken und Verfüttern an den Rest der Klasse. Den Zaubertrick mach mir mal vor.
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Fragen über Fragen ;-))
Nun ja .. ohne zu verstehen, wovon Du en detail redest ;-))
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Innerhalb eines gesetzten Axioms lässt sich doch ganz bestimmt alles sehr leicht herleiten, oder?
Ein Beweis ist dann aber streng genommen nicht, weil es ja sein eigenes Axiom zur Voraussetzung hat.
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So mal ganz mathedoof und rein alltagslogisch gesprochen ;-))
Beste Antwort weils für mich jetzt nur NOCH verwirrender ist , und weil ich Mathe ab jetzt UNLOGISCH find und damit in Philosophie für diese Einstellung volle Punktzahl bekomm. :D
Hab' Dank ;-))
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Es ist aber dann zu empfehlen, dass Du Dir eine gekonnt schizophrene Haltung zulegst .. eine für den Mathe-, und eine für den Philosophieunterricht. Meine Mathelehrer zumindest zeigten damals immer sehr wenig Humor bei solchen Fragen und beschieden mich mit der unkreativen Standardantwort "Das ist eben so".
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Ansonsten fand ich die Antwort von nobswolf sehr wertvoll und vielleicht sogar 'nen Kick "seriöser" als meine; sehr gut gefallen haben mir auch die Anmerkungen von "mopani" weiter unten :-D
Bessere Idee. Mathe und Philosophie verbinden. Dan muss man nur EIN Fach schwänzen statt zwei. :) die Antworten waren auch gut. Ich war auch sehr am überlegen. aber einen musst ich ja wählen. Also hats dich getroffen :)
Ganz einfach, weil es die falsche Einheit ist. 1 Tisch + 4 Stühle = 1 Essgarnitur. Logisch oder? Jetzt verstanden. Und wenn du 1 Stuhl auf einen anderen stellst, dann ist der niemals 5 Stühle hoch? Wie denn, das wäre unlogisch.
Hör auf Zahlen abstrakte Konstrukte zu beachten. Du hast nur 1 Körper und nur 1 Leben. Mach was draus.
Ganz einfach, weil es die falsche Einheit ist. 1 Tisch + 4 Stühle = 1 Essgarnitur. Logisch oder? Jetzt verstanden. Und wenn du 1 Stuhl auf einen anderen stellst, dann ist der niemals 5 Stühle hoch? Wie denn, das wäre unlogisch.
Hör auf Zahlen abstrakte Konstrukte zu beachten. Du hast nur 1 Körper und nur 1 Leben. Mach was draus.
Als Letztes sollte man nicht vergessen, dass die Mathematik ihren Ursprung in der Physik findet und Physik auf REALE Beobachtungen fundiert. Kein Philosoph würde mir widersprechen, wenn ich behauptete, dass alles, was real ist, auch logisch ist, oder? Sieht man Physik als Teilgebiet der Mathematik an, ist Mathematik demnach zumindest zum Teil logisch. qed.
Also, +5 Äpfel verstehe ich ja noch.
Aber -5 Äpfel? Gibt es nicht
Ansich genommen richtig (logisch). Wenn man aber -5 Äpfel im Kontext sieht, kann es doch -5 Äpfel geben. Man könnte zum Beispiel -5 Äpfel als Mangel an 5 Äpfeln sehen.
Sei 0 der Zustand "satt" und ich 5 Äpfel essen muss, um satt zu werden, dann habe ich -5 Äpfel im Bauch. Das ist doch klar! ;-)
Man muss die Dinge immer im Kontext sehen und darf auch nicht denken, mathematische Überlegungen müssen real sein.
Wenn in einem Haus 8 Menschen sind, und 12 raus gehen, dann ist es vollkommen egal, ob sich 4 Menschen von einem anderen Planeten in die Türschwelle beamen, 4 Affen beim Hinausgehen einen Evolutionssprung zum Menschen machen oder die Gebäudewand so umgebaut wird, dass innen gleich außen ist. Das spielt für die Mathematik keine Rolle.
In der Mathematik gibt es auch 100-dimensionale Räume. Ein Philosoph kann sich darunter sicherlich nicht viel vorstellen und deswegen sind 100-dimensionale Räume unlogisch für ihn. Dabei spielt es überhaupt keine Rolle, ob man sich 100-dimensionale Räume (bildhaft) vorstellen kann.
OK, wenn ein Philosoph an den Axiomen zweifeln würde, dass könnte ich noch verstehen. Wenn er zum Beispiel sagen würde, dass logisch und unlogisch nur Wörter sind, die ihre Bedeutung durch den Menschen erlangt haben, dann könnte man auf sprachlicher Ebene auch sagen, es hätte genauso gut andersherum definiert werden können. Dann wäre Mathematik unlogisch.
Aber glaubt mal ja nicht, dass es ohne den Menschen keine Mathematik gäbe. Formeln werden nicht erfunden, sondern entdeckt. Ich zu meinen Teil glaube fest daran, dass die Rückseite der Sterne auch hell ist, selbst wenn keiner es gesehen hat. Das ist doch eine logische Schlussfolgerung, oder?
Wenn 5 Leute in einem Raum sind und 10 kommen raus, dann müssen 5 wieder rein gehen, damit der Raum wirklich leer ist. Logisch, oder?
Eine sehr schöne Fragestellung.
Dazu sollten wir erstmal klären, was ist Logik.
Und die Antwort ist. Ein griechisches Fremdwort.
Logik ist abgeleitet von Logos und Logos heißt Sprache.
Dass heißt Logik ist nichts weiter als die sprachliche Nachvollziehbarkeit einer Aussage.
Das heißt, Mathematik ist eine Sprache. Kleines Beispiel:
a²+b²=c² ; a,b,c stellen hierbei die Semantik (=Bedeutung) dar. Weil wenn es diese Seiten nicht gäbe, wäre der Satz des Pythagoras ja komplett Bedeutungslos.
²,+,= stellt die Syntax der Sprache dar. Das heißt die Syntax bildet die Funktionalität der Sprache ab. Das kann ich auch in Deutsch übersetzen.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Summe der Länge der kurzen Seiten gleichgroß, wie das Quadrat der Länge der Langen Kante.
Und jetzt mal im Ernst, das sieht Scheiße aus und ist im konkreten Anwendungsfall auch bei weitem nicht so logisch nachvollziehbar, wie Deutsch.
Das heißt Mathematik ist in erster Linie eine extrem praktische und pragmatische Sprache. (It know's how to get shit done).
Es gibt andere Sprachen die sind deutlioch logischer.
Zum Beispiel Latein, Griechisch und Hebräisch.
Zum Beispiel gibt es im Latein für jede unregelmäßigkeit eine Regel, welche die ausnahme definiert (Beugung von Verben zum Beispiel)
In der Mathematik hingegen gibt es auch logische Ausnahmen. Zum Beispiel die Division durch 0. Die ist einfach nicht definiert. Was auch gut so ist, denn es ist praktisch irrelevant. Jedoch ergeben sich dadurch Situationen, wo Mathematik nicht mehr nachvollziehbar ist.
Kleines Beispiel
0/0 = (100-100)/(100-100) ={(10+10)*(10-10)}/{10*(10-10)}
Jetzt können wir (10-10) kürzen und erhalten 0/0 = 20/10=2.
Und mit diesem Nachweis, kann man iterativ fortschreiten. Und so wäre
0/0 = 1/16=1/8=1/4=1/2=2=4=8=16 Zumindest theoretisch.
Praktisch gesehen, kann man aber nicht mit (10-10) kürzen. Weil (10-10)/(10-10) ist ja 0/0. Und solche internen mathematischen Logikfehler fängt man normalerweise mit einer Fallunterscheidung ab. Aber das wird heutzutage fast gar nicht mehr in der Schule unterrichtet.
Falls deine Lehrerin English-Lehrerin ist. Dann kannst du ihr sagen, dass Mathe zwar unlogischer ist als Deutsch, aber immernoch deutlich logischer als English.
Denn im englischen ergibt folgender Satz einen Sinn:
"All the Faith he had had had had no impact on the outcome of his life."
Und spätestens jetzt erkennt man wie absurd die englische Sprache ist,
welche ja nur aus einer rudimentären Unterart des Plattdeutschen hervorgegangen ist.
Und das schlimmste ist, dass die weltsprache auf der Erde "schlecht gesprochenes" English ist.
Mathematik ist nicht inherent logisch, sondern konsistent. Das ist wohl das kleine Detail worauf Deine Lehrerin hinaus will.
"Logik" im Philosophischen Sinne bedeutet, dass es aus sich heraus zwingend folgt.
Mathematik baut aber auf Axiomen auf. Diese Axiome muss man als gegeben akzeptieren. Ein Ziel der Mathematik ist es, diese Axiome so grundlegend zu machen, dass sie intuitiv verstanden werden können. Aber auch das ist noch keine Logik im strengen Sinne.
Mathematik ist vor allem eines ... konsequent. Und alles was mathematisch unlogisch ist hat eh keine Konsequenzen, da es wie du es bereits gesagt hast inkonsistent (inkontinente Sprache ... so genanntes Kauderwelsch) ist.
Falschaussage. Mathematik ist eine Sprache und die hat eine gewisse logische Qualität. es ist nicht die logischste, also nachvollziehbarste Sprache von allen aber auch bei weitem nicht die unlogischste.
"Logik" im Philosophischen Sinne bedeutet, dass es aus sich heraus zwingend folgt.
Das verstehe ich nicht, kannst du mir das bitte erklären oder ein Beispiel geben. Wie kann etwas aus sich selbst heraus gefolgert werden? Gäbe es dann nicht zirkuläre Bezüge?
Der Punkt ist, dass ein Gesamt-System gar nicht logisch sein kann. Man landet am Anfang immer an einem Paradigma, einem Axiom, einer Annahme oder einem "Glauben" ... oder eben einem Zirkelschluss.
Ich vermute das ist vielleicht ein Grundproblem unserer Existenz :)
Um so ein System aufzubauen, fängt man also bei etwas an, dass man als "wahr" annimmt (oder einfach also solches definiert). Und dann kann man z.B. mit Hilfe der Aussagenlogik bzw der Bool'schen Algebra daraus logische Schlüsse ziehen. Die sind dann aber alle nur so wahr wie die Annahme.
Diese erste Annahme sollte nun so grundlegend sein, dass man keine Schwierigkeiten damit hat, sie als Axiom zu akzeptieren. In der Mathematik sind z.B. wichtige Grundpfeiler die Peano'schen Axiome, die nichts anderes besagen als die simple Annahme, dass man Dinge abzählen kann. Und auf diesem simplen Axiom beruht alles was mit Zahlen zu tun hat, Numerik, Algebra, Analysis... also wirklich schon mal eine ganze Menge. Aber ohne so ein Axiom wäre es gar nicht möglich.
Zwei Fälle sind nun dabei problematisch:
1) das Axiom ist zu kompliziert; zu viele Leute verstehen es einfach nicht und können daher auch nichts davon akzeptieren was darauf aufbaut
2) das Axiom erweist sich einfach als falsch; es widerspricht der Realität, der praktischen Erfahrung oder es ist so kompliziert, dass es sich schon selber widerspricht
Bei Peano dürfte beides unwahrscheinlich sein. Aber es gibt philosophische Texte wo man 1) annehmen kann. Manchmal sind solche Axiome eben auch nicht für jeden gemacht, sondern setzen viel Vorwissen voraus. Die Gefahr dabei ist, dass solche Gebilde dann schlecht prüfbar sind.
Und die 2) ist in der Physik z.B. der Newton-Mechanik "passiert" als die Relativistik entdeckt wurde. Unter der erweiterten Annahme dass Newton eine Näherung für kleine Geschwindigkeiten ist, kann man solche Axiome dann auch "retten" damit die ganze Arbeit nicht für die Katz war.
Nichts kann aus sich selbst heraus logisch sein. Denn das würde ja heißen, dass etwas aus sich heraus nachvollziehbar ist. Um es mal in deutsche Sprache zu übersetzen. Nachvolzziehbarkeit (=Logik) ist nunmal eng verknüpft mit Kausalität. Also dem Prinzip von Ursache und wirkung.
Kleines Beispiel:
Ein Baum kann auch nur dort wachsen, wo vorher ein Samen gesäht wurde, oder der Baum ihn einfach fallen lassen hat. Alles andere ist Sophismus, also die philosophische Kunst sich die Welt schön zu reden aka zu Lügen. Und ja Sophisten haben dieses Argument, dass das philosophische Konzept selbst der Beweis für seine Richtigkeit sei schon so oft verwendet.
Das ging gut bis im 16. Jahrhundert Galileo Galilei die Wissenschaft mit einer einfachen Definition begründet hat: "Zwei Wahrheitsgetreue Aussagen können sich niemals widersprechen." Das hatte vielen nicht gefallen, weswegen ihm angedroht wurde zu widerrufen ansonsten würde man ihn umbringen.
Interessanterweise ist das heliozentrische Weltbild, welches er vertrat und weswegen er umgebracht werden sollte deutlich Älter und stammt, soweit ich recherchieren konnte von Heron von Alexandria. Dieser konnte es jedoch nicht mathematisch exakt beweisen, da elliptische Integrale erst später durch Carl Friedrich Gauss gelöst wurden.
Der Grund warum Galilei diese Definition eingeführt hatte war, weil er keinen Bock mehr auf Lügen hatte und damit nach einer logisch nachvollziehbaren Qualität von Wahrheit gesucht hatte. Und Realität ist immer wahr und war schon immer da und wird auch immer da sein. Und Realität kann sich nicht widersprechen. Nur Menschen können Lügen.
Hör mal bitte auf zu Lügen. Wahrheit kann man nicht annehmen, sondern Realität = Wahrheit ist immer existent in jedem Moment an jedem Ort.
Definition von Wissenschaft ist da hilfreich: "Zwei Wahrheitsgetreue Aussagen können sich niemals widersprechen." (Nur Menschen können Lügen)
Oder die noch schärfere Definition nach vulkanischer Logik aus Star Strek IV:
"Nichts unreales existiert."
Das heißt auf diese Weise hast zwei ganz einfache Axiome ein weiches und ein hartes, mit welcher du jedwede Lüge enttarnen kannst.
So dann guck ich mir mal an wie oft du negative Konjunktionen verwendet hast: Also sowas wie oder, jedoch, dennoch, aber, obwohl (=widersprüchliche Logik in deiner eigenen Sprache) Und stelle fest du lügst dich selber an.
Versuch doch mal den Text den du geschrieben hast ohne logische (das heißt sprachlich nachvollziehbare) Widersprüche zu formulieren. Ich bin gespannt. Denn dann würdest selber auf ganz einfache Art und Weise erkennen können, was Lüge ist und was Wahrheit ist.
Realität = Wahrheit
Realität ist zwar immer wahr, aber nicht alles, was wahr ist, ist Realität.
Doch. Genauso ist es aber. Realität ist immer konsequent. Denn es existiert das Prinzip von Ursache und Wirkung. Ein Baum kann zum Beispiel nur dort wachsen, wo auch ein Samen gesäht wurde, alles andere ist Unsinn. Und neben der Realität existiert nichts wirkliches. Naturvölkern ist das bewusst, weil sie den Konjunktiv, also die Fähigkeit zu lügen ohne rot zu werden, niemals entwickelt haben.
Schauen wir uns dazu noch einmal die Definition von Wissenschaft an: "Zwei Wahrheitsgetreue Aussagen können sich niemals widersprechen."
Und das ist auch ganz einfach zu verstehen, denn wenn Realität sich selbst widersprechen würde (Gott, ich verachte den Konjunktiv) würde sie sich selbst zerstören, das wäre die Auflösung der Existenz ... für immer.
Kleines Gedankenexperiment dazu: Wir nehmen zwei Unterschiedliche Realitäten an (unterschiedliche Physik, Chemie, Biologie, Mathematik, Geometrie) und lassen die beiden miteinander kollidieren. Was passiert? Naja, ein mächtiger Badabumm und das wars ... für immer (Referenz zu "Das fünfte Element" sollte klar sein.). Guck mal alle physikalischen Gesetze/Modelle die wir gefunden haben sind extrem logisch, stringent und konsequent. Das heißt, sollte in den 153 Naturgesetzen (hab mal nachgezählt, aber du weißt ja irren ist menschlich) auch nur ein Logikfehler enthalten sein, würde die Realität so wie wir sie kennen instantan (also mit Lichtgeschwindigkeit) kollabieren, weil sie eben so stringent und konsequent ist. Nur die meisten Menschen sind zu blöd das begreifen.
Das, was du zu zeigen versuchst, geht an meiner Intention vorbei.
Ich gebe dir gerne ein Beispiel: Die Aussage "Das Haus des Nikolaus lässt sich zeichnen, ohne den Stift abzusetzen" ist eine wahre Aussage, selbst wenn es nicht eines gäbe, das je gezeichnet worden wäre. Daran ist nichts real, jedenfalls nicht im herkömmlichen Sinn.
Instantan und mit Lichtgeschwindigkeit sind nicht dasselbe (siehe z. B. "Verschränkungseffekt").
richtig und wie man das macht muss man üben, denn es gibt auch Pfade das Haus zu zeichnen, die eben nicht gehen ohne abzusetzen. Der Witz ist, dass physikalische Gesetze explizit so sind, dass sie Konsequenzen haben. Was einen Spezialfall in mathematischen Axiomen darstellt. Das heißt ja, dein Handeln hat Konsequenzen ob du willst oder nicht. Denn Realität ist immer konsequent, egal ob du die Augen zu machst oder nicht. Chill mal ne Runde, das hilft.
Zitat aus dem Film der Marsianer: "Ich habe jetzt die Reichweite meines Rovers ausgereizt und ich würde auch gerne die Mission fortsetzen ... nur sind meine Eier mittlerweile am Sitz angefroren, dass heißt wenn ich weiterfahren würde, sterbe ich an den Gesetzen der Thermodynamik."
BTW, einer der besten Sci-Fi-Filme jemals. Und deutlich sinnvoller als zum Beispiel Interstellar. Die ganze Welt wird von Sandstürmen heimgesucht. Selbst in seinem Haus dringt der Sand durch alle Ritzen, sodass er im Schrank nicht einen sauberen Teller hat. Womit putzt er dann den Außenspiegel von seinem Auto dass draußen steht? Mit einem sauberen Lappen ... ja ne is klar. Spätens da hab ich gemerkt (erste 5 Minuten) was bei diesem Film alles auf mich zu kommen wird ... und das war einiges. Wer fliegt bitteschön freiwillig in die Nähe eines schwarzen Loches? Wie zur Hölle hat er dann doch durch "Bücherrücken" den Event Horizon rückwärts passiert. So ein Nonsens. Hätte Hawking, welcher als Berater für den Film tätig war, den Film noch lebend erlebt, wäre er höchstwahrscheinlich vor Wut aus dem Rollstuhl aufgestanden und hätte ein paar Roundhousekicks verteilt.
Ähem. Hawking lehrt uns Informationen breiten sich mit Lichtgeschwindikgeit aus (Informationserhaltungssatz). Und Licht also Photonen oder die Rotationsanalogons Neutrinos breiten sich genauso mit Lichtgeschwindigkeit aus wie alle anderen Informationen.
Quantenverschänkung bedeutet ja nix anderes, als dass ein Atom mit einem anderem z.B.: über das Megnetfeld oder was anderes gekoppelt hat. Das heißt sie laufen synchron (Physik des Traktorstrahls). Die Geschwindigkeit mit der sich die Ursache der Verschränkung jedoch ausbreitet ist nunmal die Lichtgeschwindigkeit. Also ist es, wenn sagen wir mal wir haben zwei Uran-Kerne, die quantenverschränkt wären. Und der eine zerfällt, dann wird sich das Feld von dem zerstrahlten Kern mit Lichtgeschwindigeit ausbreiten und erst dann, wenn der letzte Impuls auftritt wird die Verschränkung aufhören. Von einem Beobachter hingegen, wird bei zwei nichtzerstrahlten Kernen aufgrund der relativ geringen Zeitlatenz (oder auch Ping wie man im Counterstrike-Jargon sagt) kaum ein Unterschied festzustellen sein.
Die Schlüße aus den Axiomen sind dennoch logisch. nehmen wir mal an Äpfel sind gleich birnen, dann wären 3 Birnen + 5 Äpfel logischerweise = 8 Birnen = 8 Äpfel oder auch 4 Äpfel + 4 Birnen... Natürlich ist die Aussage Äpfel gleich Birnen nicht richtig, aber die mathematischen Schlußfolgerungen aus dieser Aussage sind richtig und logisch. Das Kommutativgesetz kann auch praktisch nicht unbedingt sinnvoll sein. Wenn in einem Raum 5 Leute sind und 6 gehen raus, wieviele Leute müssen rein gehen dass der Raum leer ist? Zuerst würde man sagen: So ein Quatsch das ist doch überhaupt nicht möglich dass 6 Leute rausgehen. Aber für einen MAthematiker ist es irrelevant ob die person vorher oder nachher rein geht denn nach dem Kommutativgesetz gilt: 5+1+(-6)=5+(-6)+1=0. Es gibt noc viele weitere verwirrende Beispiele.
Axiome sind aus Realität abgeleitete Grundsätze. Zum Beispiel ist der Satz des Pythagoras aus dem Strahlensatz hergeleitet worden. Damit stellt er ein kausales Axiom dar und ist deswegen wahr. Du kannst dir keine Axiome aussuchen, weil du der Meinung bist, dass das so sein sollte. Und im übrigen ist Meinungsfreiheit in erster Linie ein Recht was man Kindern gewährt, da sie noch keine Ahnung von Realität haben können. Denn Realität ist immer kausal. Der zweite wichtige Aspekt bei der Meinungsfreiheit ist, dass irren menschlich ist. Deswegen wird auch jedem Menschen das Recht eingestanden seine Meinung zu ändern (leider zum guten wie zum bösen)
Hier ist aber der entscheidende Punkt nicht die Logik sondern die richtige Wahl des Werkzeugs. Die Addition verschiedenartiger Objekte ist eine Art Vektorrechnung. Äpfel und Birnen sind unabhängige Skalen und daher verschiedenen Koordinaten im Vektorraum zuzuordnen. Wenn ich also Birnen als erste und Äpfel als zweite Koordinate bezeichne ergibt sich für 3 Birnen und 5 Äpfel
(3; 0) + (0; 5) = (3; 5)
Wobei dieser Vektorraum nicht orthonormal ist; was u.a. heisst, dass ich nicht einfach mit Pythagoras einen Betrag bilden kann. Das ist auch gleich ein schönes Beispiel dafür, dass Abstraktion die Dinge nicht unbedingt einfacher macht. ;-)
Das gleiche gilt auch im zweiten Beispiel. Natürliche Personen in echten Räumen sind halt durch die Natürlichen Zahlen zu beschreiben und nicht durch Ganze. Also ist ein negatives Ergebnis unzulässig. Die Operation an sich ist dann zwar kommutativ, aber je nach Zahlenwerten erhalte ich mal ein Ergebnis oder nicht.
Die Mathematik stellt halt "Werkzeuge" zur Verfügung. Und man ist schon selbst dafür verantwortlich das richtige Werkzeug zu benutzen. Eine Werkzeugkiste wird auch nicht "unlogisch" nur weil ich die Schraube nicht gescheit ins Holz kriege, so lange es es mit einem Hammer versuche.
Meiner Meinung nach ist der Fall keins von beiden, denn sind Ziffern, Formeln, etc. sind ja "erfunden" .
Nein. Zahlen stellen repräsentationen für reale Objekte dar. Wenn du 10 Äpfel erntest und 5 davon ist, bleiben noch 5 Äpfel. Oder hast du die Äpfel jetzt auch erfunden. Und zählen/messen tut jedes Kind. Halt mal die Hand vor dein Gesicht und zähl mal. Ah 1,2,3,4,5 Finger. Das war eine Messung. Du hast 5 (=Zahl) Finger (=Einheit) an deiner Hand.
Die "berühmte" Regel - mal - ergibt + lässt sich relativ leicht aus den Ringaxiomen der ganzen Zahlen beziehungsweise den Körperaxiomen der rationalen oder reellen Zahlen herleiten.