Warum ergibt Minus mal Minus gleich Plus in der Mathematik?

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9 Antworten

Multiplikation mit einer negativen Zahl, das bewirkt, dass sich das Vorzeichen der ursprünglichen Zahl umkehrt.

=> Wird eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert, so wird im Ergebnis aus dem pos. Vorzeichen der ursprünglichen Zahl ein negatives Vorzeichen. (=> plus • minus = minus)

=> Wird eine negative Zahl mit einer negativen Zahl multipliziert, so wird im Ergebnis aus dem neg. Vorzeichen der ursprünglichen Zahl ein positives Vorzeichen. (=> minus • minus = plus)

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Kommentar von schlichtertyp
06.09.2016, 22:27

Es tut mir leid, das wissen wir ja schon. Es geht ja um die Frage warum minus mal minus plus ergibt und nicht minus. Und dafür suchte ich eine Begründung, Beweis und Herleitung, das gibt der Text leider nicht so her.

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Wenn ich Geld verleihe, ist es bei mir negativ. Tue ich es mehrfach, ist es sogar mehrfach negativ in meinem Portmonee. 
Bekomme ich es zurück, wird es für den Schuldner negativ, in meinem Portmonee aber eindeutig wieder positiv. Er hingegen hat seine negativen Beträge vermindert. Vermindern ist Minus.
Minus (mal) Minus ist Plus.

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Kommentar von schlichtertyp
06.09.2016, 22:25

Es tut mir leid, aber die anderen Erklärungen leuchten mir besser ein, auch wenn sie nicht leicht zu verstehen sind.

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Wenn die Regel "plus mal minus gleich minus" einleuchtet, schreiben wir sie mal ausführlich hin:

Satz 1:
a(-b) = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
a(-b) = 0 + a(-b)
= (-(ab) + ab) + a(-b)   [weil -(ab) + ab = 0 ist]
= -(ab) + (ab + a(-b))   [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= -(ab) + a(b + (-b))     [weil ab + a(-b) = a(b+(-b)) ist]
= -(ab) + a*0                [weil b+(-b) = 0 ist]
= -(ab) + 0                   [weil a*0 = 0 ist]
= -(ab).

Dann gilt aber auch

Satz 2:
(-a)b = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
(-a)b = b(-a)    [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]
= -(ba)             [wegen Satz 1 mit vertauschten a und b
= -(ab)             [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]

Aus Satz 1 und Satz 2 folgt also, dass man das Minuszeichen eines Faktors vor das Produkt ziehen kann.

Ferner gilt

Satz 3:
-(-a) = a für beliebige ganze oder reelle Zahlen a.

Beweis:
-(-a) = -(-a) + 0
= -(-a) + (-a + a)       [weil -a + a = 0 ist]
= (-(-a) + (-a)) + a    [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= 0 + a                      [weil -(-a) + (-a) = 0 ist; es gilt immer -x+x=0]

Ein Minus vor einer Zahl kehrt also das Vorzeichen um: -(+7) = -7, -(-7) = +7

Aus den Sätzen 1, 2 und 3 folgt das gewünschte Resultat:

Satz 4: (-a)(-b) = ab für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
(-a)(-b) = -((-a)b)    [wegen Satz 1 mit (-a) statt a]
= -(-(ab))                [wegen Satz 2]
= ab                       [wegen Satz 3 mit ab statt a]


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Meine Mathelehrerin hat das immer so erklärt:

Stell dir vor, du stehst auf einer Zahlenlinie. Nach vorne siehst du alle positiven Zahlen (1,2,3,4,5,...) und hinter dir alle negativen Zahlen (-1,-2,-3,...). Du stehst also auf der null. 

Nehmen wir an, du willst "plus mal plus" rechnen. Das erste "plus" steht für deine Blickrichtung. Das zweite "plus" steht für deine Gangrichtung. Bei "plus mal plus" guckst du also nach vorne und gehst auch nach vorne.

Wenn du jetzt "minus mal minus" rechnen willst, musst du dich umdrehen (wegen dem ersten "minus") und gehst dann rückwärts (wegen dem zweiten "minus") und kommst somit in den positiven Zahlenbereich.

Ich weiß, ist keine mathematische Erklärung, aber mir hat diese Vorstellung immer sehr geholfen. Falls jemand eine mathematisch korrekte Lösung hat, würde mich das auch mal interessieren.

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Kommentar von schlichtertyp
06.09.2016, 22:32

Wenn ich minus 5 Bierkisten habe, also fehlen mir die (weil minus) und wenn ich eine Palette mit minus 5 mal minus 5 Bierkisten (nicht habe, also fehlen) dann ergibt das für mich -5 mal -5 = -25 fehlende Bierkisten und nicht +25 Bierkisten

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minus heisst sozusagen,  in die andere Richtung gehen (auf dem Zahlenstrahl)

Wenn du zwei mal die Richtung wechselst, gehst du wieder in die ursprüngliche Richtung.

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Man kann es logisch herleiten:

Es gilt 0*x = 0 für alle x ∈ ℝ

Außerdem: -a = -1 * a

Somit können wir folgendes aussagen:

Seien a und b natürliche Zahlen.

(-a) * (-b) = -1 * a * (-b) = a * -(-b) = a * b

Im fett markierten Teil erfolgt zwar trotzdem eine Multiplikation zweier negativer Zahlen, aber das soll es ja nur veranschaulichen.

Besser kann man es imho so sehen:

Du weißt:

-4 + 4 = 0

Wenn wir die ganze Gleichung mit (-5) multiplizieren, erhalten wir:

(-4)(-5) + 4*(-5) = 0*(-5)

(-4)(-5) - 20 = 0

Addieren wir auf beiden Seiten 20:

(-4)(-5) - 20 + 20 = 0 + 20

(-4)(-5) = 20

So, da haben wir's. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

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Kommentar von lks72
02.09.2016, 20:30

In deinem Rechenbeispiel sieht man sehr schön, warum die Beziehung so gilt. Wenn die algebraische Struktur distributiv ist, dann gilt auch das berühmte minus mal minus gleich plus.

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Kann man beweisen. http://observations.rene-grothmann.de/negativ-mal-negativ-gleich-positiv/

Vermutlich bist du aber noch nicht weit genug in Mathe 

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Kommentar von schlichtertyp
06.09.2016, 22:35

Naja was heißt weit genug: Ich habe Abitur Leistungskurs gehabt und in der Prüfung 10 Punkte erreicht, also Note 2 im Leistungskurs, gefordert waren dort Vektorrechnung, Matrizenrechnung, Kurvendiskussion und Integralrechnung. Natürlich konnte ich die Rechenregeln Minus mal Minus richtig anwenden, jedoch verstanden hatte ich das nicht so richtig.

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Das ist wie in der Realität: wenn Du Dich zwei mal um 180° drehst, schaust Du wieder nach vorne ...

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Dieser Sachverhalt gilt genau dann, wenn das Distributivgesetz gilt. Es ist nämlich 0 = (-a) * 0 = (-a) * (a + (-a)) = (-a) * (a) + (-a) * (-a).

(-a) * a ist also das Inverse zu (-a) * (-a). Man kann leicht zeigen, dass (-a) * a = - (a * a) ist, also ist (-a) * (-a)  als Inverses dazu dann a * a.

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