Warum ergibt Minus mal Minus gleich Plus in der Mathematik?

11 Antworten

Man kann es logisch herleiten:

Es gilt 0*x = 0 für alle x ∈ ℝ

Außerdem: -a = -1 * a

Somit können wir folgendes aussagen:

Seien a und b natürliche Zahlen.

(-a) * (-b) = -1 * a * (-b) = a * -(-b) = a * b

Im fett markierten Teil erfolgt zwar trotzdem eine Multiplikation zweier negativer Zahlen, aber das soll es ja nur veranschaulichen.

Besser kann man es imho so sehen:

Du weißt:

-4 + 4 = 0

Wenn wir die ganze Gleichung mit (-5) multiplizieren, erhalten wir:

(-4)(-5) + 4*(-5) = 0*(-5)

(-4)(-5) - 20 = 0

Addieren wir auf beiden Seiten 20:

(-4)(-5) - 20 + 20 = 0 + 20

(-4)(-5) = 20

So, da haben wir's. ^^

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

39

In deinem Rechenbeispiel sieht man sehr schön, warum die Beziehung so gilt. Wenn die algebraische Struktur distributiv ist, dann gilt auch das berühmte minus mal minus gleich plus.

0

Meine Mathelehrerin hat das immer so erklärt:

Stell dir vor, du stehst auf einer Zahlenlinie. Nach vorne siehst du alle positiven Zahlen (1,2,3,4,5,...) und hinter dir alle negativen Zahlen (-1,-2,-3,...). Du stehst also auf der null. 

Nehmen wir an, du willst "plus mal plus" rechnen. Das erste "plus" steht für deine Blickrichtung. Das zweite "plus" steht für deine Gangrichtung. Bei "plus mal plus" guckst du also nach vorne und gehst auch nach vorne.

Wenn du jetzt "minus mal minus" rechnen willst, musst du dich umdrehen (wegen dem ersten "minus") und gehst dann rückwärts (wegen dem zweiten "minus") und kommst somit in den positiven Zahlenbereich.

Ich weiß, ist keine mathematische Erklärung, aber mir hat diese Vorstellung immer sehr geholfen. Falls jemand eine mathematisch korrekte Lösung hat, würde mich das auch mal interessieren.

5

Wenn ich minus 5 Bierkisten habe, also fehlen mir die (weil minus) und wenn ich eine Palette mit minus 5 mal minus 5 Bierkisten (nicht habe, also fehlen) dann ergibt das für mich -5 mal -5 = -25 fehlende Bierkisten und nicht +25 Bierkisten

0
17
@schlichtertyp

Dein Denkfehler ist, dass du nicht "minus 5 mal minus 5 Bierkisten" rechnen darfst. 

DOPPELTE VERNEINUNG

In deutsch würde deine Rechnung dann so heißen: "Ich habe nicht 5 mal keine 5 Bierkästen".

Wenn du sagen willst: "Ich habe nicht 5 mal 5 Bierkästen", dann musst du logischerweise "5 mal minus 5 Bierkästen" rechnen.

0

Wenn die Regel "plus mal minus gleich minus" einleuchtet, schreiben wir sie mal ausführlich hin:

Satz 1:
a(-b) = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
a(-b) = 0 + a(-b)
= (-(ab) + ab) + a(-b)   [weil -(ab) + ab = 0 ist]
= -(ab) + (ab + a(-b))   [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= -(ab) + a(b + (-b))     [weil ab + a(-b) = a(b+(-b)) ist]
= -(ab) + a*0                [weil b+(-b) = 0 ist]
= -(ab) + 0                   [weil a*0 = 0 ist]
= -(ab).

Dann gilt aber auch

Satz 2:
(-a)b = -(ab) für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
(-a)b = b(-a)    [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]
= -(ba)             [wegen Satz 1 mit vertauschten a und b
= -(ab)             [weil man beim Muliplizieren die Faktoren vertauschen darf]

Aus Satz 1 und Satz 2 folgt also, dass man das Minuszeichen eines Faktors vor das Produkt ziehen kann.

Ferner gilt

Satz 3:
-(-a) = a für beliebige ganze oder reelle Zahlen a.

Beweis:
-(-a) = -(-a) + 0
= -(-a) + (-a + a)       [weil -a + a = 0 ist]
= (-(-a) + (-a)) + a    [weil man bei Addition beliebig klammern darf]
= 0 + a                      [weil -(-a) + (-a) = 0 ist; es gilt immer -x+x=0]

Ein Minus vor einer Zahl kehrt also das Vorzeichen um: -(+7) = -7, -(-7) = +7

Aus den Sätzen 1, 2 und 3 folgt das gewünschte Resultat:

Satz 4: (-a)(-b) = ab für beliebige ganze oder reelle Zahlen a und b.

Beweis:
(-a)(-b) = -((-a)b)    [wegen Satz 1 mit (-a) statt a]
= -(-(ab))                [wegen Satz 2]
= ab                       [wegen Satz 3 mit ab statt a]


Wenn Mathematik so logisch ist, warum verstehen sie denn so viele Menschen nicht?

Man sagt ja die Mathematik sei das Mutterfach der Logik... gleichzeitig ist es auch das Fach, wo am meisten Nachhilfebedarf herrscht...

Wenn Mathematik so logisch ist, warum haben dann so viele Menschen Mühe mit ihr? Ist es weil die Mathematik zwar schon auf klar strukturierten Regeln aufgebaut ist, aber irgendwann einfach zu abstrakt und fernab der Realität ist?

...zur Frage

ungerade minus plus gerade

stimmt es das wen man ein minus hat gibt es plus und bei 2 wieder minus das heisst bei einer graden anzahl minus gibt es minus und bei einer ungeraden plus z.b -5+-5=-10

...zur Frage

Warum fließen Elektroden von plus nach minus?

Warum nicht umgekehrt?

...zur Frage

Technische Stromrichtung inwiefern falsch?

Hallo,

Schaltpläne werden ja so gezeichnet, das der Strom von Plus nach Minus fließt, aber in wirklichkeit fließt er von Minus nach Plus. Wie ist es jetzt aber bei einer Batterie? Der Strom fließt ja von Minus nach Plus. Hat man da aber die Seiten extra unbenannt, so dass der eigentliche Minuspol der Pluspol ist, damit man es richtig anschließt. Eigentlich ist es ja wichtig das man weißt wie der Strom fließt, z.B. bei Dioden. Dann funktionieren die Dioden aber laut Schaltplan nicht, oder zeichnet man sie extra verkehrt herum. Warum dann aber nicht gleich die technische Stromrichtung auf Minus nach Plus ändern ? Bitte keine Antworten die mir den Unterschied zwischen der physikalischen und technischen Stromrichtung erklären. Das weiß ich doch schon.

...zur Frage

Warum ergibt 2 minus -4 sechs?

...zur Frage

Warum gibt Minus mal Minus Plus? (In einem einfachen Satz)

Das Minus mal Minus Plus gibt ist mir schon klar, aber warum ist das so? Klar die beiden Minus heben sich auf aber wie kann man das in einem satz erklären, wie zum Beispiel mit Äpfeln (Ein Beispiel mit 1+1=2: Ich habe ein Apfel, nehme ich noch einen Apfel habe ich zwei Äpfel^^)? Könnt ihr mir einen Satz sagen, wie ich das in einer nicht Mathematischen Vormel verstehen kann?

Danke

...zur Frage

Was möchtest Du wissen?