Ich brauche Hilfe bei Stammfunktion?
kann jemand bitte mir bei dieser Aufgabe helfen?
4 Antworten
Hallo,
bei dieser Aufgabe wurde mit einigen (alten Hasen bekannten) Tricks gearbeitet.
Der erste Trick besteht darin, den Bruch in zwei Brüche aufzuteilen, aber nicht, indem man einfach den Zähler aufteilt, also den Bruch zu 8x/(x²-2x+17)-3/(x²-2x+17) aufteilt, sondern zu (8x-8)/(x²-2x+17)+5/(x²-2x+17).
Es wurde im Zähler zunächst eine 8 subtrahiert, dann wieder addiert, was ein Nullsummenspiel ergibt, aber dennoch seine Wirkung zeigt.
Nun hast Du nämlich links einen Zähler, aus dem Du die 8 ausklammern kannst:
8*(x-1).
Was das bringt, merkst Du, wenn Du Dir den Nenner genau ansiehst.
Die beiden ersten Summanden von x²-2x+17 sind nämlich der Anfang des Binoms
x²-2x+1, also von (x-1)².
Dazu mußt Du natürlich zunächst eine 1 addieren, um sie direkt wieder zu subtrahieren und mit der 17 zu verrechnen, so daß der Nenner nun so aussieht:
(x-1)²+16.
Nun hast Du links 8*(x-1)/[(x-1)²+16] stehen.
Das schreit geradezu nach einer Substitution, nämlich u=(x-1). Da es sich um eine lineare Substitution handelt, entfällt der Substitutionsausgleich und Du kannst den Bruch in 8u/(u²+16) umwandeln.
Nun kommt die nächste Substitution: u²+16=v.
Hier muß ein Substitutionsausgleich gemacht werden, indem durch die Ableitung nach u von u²+16, also durch 2u geteilt wird.
Darauf läuft das Ganze hinaus: Im Zähler steht ein Term, der durch die Ableitung des Nenners geteilt und so von der Variablen u befreit werden kann:
8u/(2u)=4
Nun sieht die Sache nach der zweiten Substitution so aus: 4*(1/v)dv.
Das ist leicht zu integrieren, es ergibt 4*ln(v)+C.
Nun wieder rücksubstituieren, zunächst also v durch u²+16 ersetzen:
4*ln(u²+16)+C
Jetzt u durch (x-1) ersetzen:
4*ln[(x-1)²+16]+C und nach Ausmultiplizieren des Arguments:
4*ln(x²-2x+17)+C.
Das ist der linke Bruch, für den zweiten gibt es eine Formel, die in den einschlägigen Formelsammlungen bzw. Integraltafeln zu finden ist.
Die Kunst beim Integrieren besteht darin, so etwas zu erkennen. Dazu braucht es Erfahrung, die sich mit der Zeit einstellt.
Herzliche Grüße,
Willy
∫ 5 / (x² - 2x + 17) dx = (5 / 4) * arctan((x - 1) / 4) + C
Erst wird eine Partialbruchzerlegung durchgeführt. Dann werden die Summanden seperat integriert.
Hier vielleicht?