Höchste Steigung einer Funktion am Wendepunkt?
Hallo, ich muss bei einer Polynomfunktion 4. Grades den steilsten Punkt bzw. die Stelle mit der höchsten Steigung finden. Laut meinem Lehrer ist die Steigung des Wendepunkts immer die steilste Steigung der ganzen Funktion. Das Internet sagt aber, dass die Steigung des Wendepunkts nicht am höchsten sein muss. Was stimmt jetzt? Bitte mit Erklärung.
2 Antworten
Wendepunkte sind lokale Extremstellen der ersten Ableitung. Du musst aber immer auch prüfen, ob an den Intervallgrenzen eine größere Steigung besteht,
Hallo,
am Wendepunkt kann auch die geringste Steigung liegen. Die Steigung hat am Wendepunkt ein Extremum. Das kann ein Maximum sein - aber auch ein Minimum.
Eine Polynomfunktion vom Grad vier kann übrigens bis zu zwei Wendepunkte besitzen.
Herzliche Grüße,
Willy
Mit welcher Ableitung prüfst Du auf ein Maximum oder Minimum der Funktion? Mit der zweiten Ableitung. Demzufolge prüfst Du auf ein Maximum oder Minimum der Ableitung der Funktion mit der dritten Ableitung (Vorzeichenwechselkriterium hier mal vernachlässigt).
Am Wendepunkt hat die erste Ableitung eine Extremstelle, was bedeutet, daß die zweite Ableitung dort eine Nullstelle besitzt.
Die dritte Ableitung zeigt dann, ob bei der ersten Ableitung an der Nullstelle der zweiten ein Maximum vorliegt (dritte Ableitung negativ) oder ein Minimum (dritte Ableitung positiv).
Dann kommt es noch darauf an, ob die Funktion an diesem Maximum steigt oder fällt. Steigt sie, ist die Steigung am Wendepunkt am höchsten; fällt sie, fällt sie dort am wenigsten.
Umgekehrt verhält es sich dann beim Minimum.
Zeichne Dir mal ein paar Graphen mit Wendepunkten auf und überlege, wie die Ableitungen dazu aussehen, damit Dir die Zusammenhänge klar werden. Beobachte auch das Krümmungsverhalten: Geht es von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt? Fällt oder steigt die Funktion an diesem Übergang, wenn das Lenkrad in die andere Richtung gedreht wird?
Wie genau kann ich jetzt überprüfen, ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt? Einfach mit der ersten Ableitung?