HILFE? MATHE?
Bei einer ganzrationelen Funktion vierten Grades wird der Anstieg am Koordinatenuhrsprung (zumindest lokal) maximal mit dem Wert 1. Des Weiteren besitzt die Funktion bei x=1 eine Nullstelle. Zudem ist bekannt, dass der Flächeninhalt im Intervall [0;1] genau 1 beträgt und das die Funktion in diesem Intervall oberhalb der x-Achse verläuft. Bestimme die Funktionsgleichung.
Kann mir bitte jemand bei der Aufgabe helfen, ich verstehe nichts
2 Antworten
Hallo,
Allgemeinform einer Funktion vierten Grades lautet
f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.
Es sind also fünf Parameter (a bis e) zu bestimmen, wofür man fünf voneinander unabhängige Gleichungen braucht.
Dazu müssen die Angaben im Text genau beachtet werden.
Die Funktion hat im Ursprung einen maximalen Anstieg von 1.
Allein aus dieser Aussage lassen sich drei Gleichungen erstellen:
f(0)=0, f'(0)=1 und f''(0)=0, denn bei einer Wendestelle wird die zweite Ableitung gleich Null.
f'(x)=4ax^3+3bx^2+cx+d
f''(x)=12ax^2+6bx+c.
Aus f(0)=0 folgt e=0, denn wenn Du für x eine Null einsetzt, verschwindet jeder Term mit x und nur e bleibt übrig.
Entsprechend führt f''(0)=0 zu c=0.
Einsetzen von 0 für x in die erste Ableitung führt zu d=1.
Nun reduziert sich die Gleichung zu f(x)=ax^4+bx^3+1. Es müssen also nur noch a und b bestimmt werden.
Bei x=1 liegt eine Nullstelle. Das bedeutet f(1)=0, also
a+b+1=0.
Außerdem ist der Flächeninhalt zwischen 0 und 1 genau 1.
Das bedeutet F(1)=1, denn F(0) ist Null, da jeder Term der Stammfunktion x als Faktor hat und die Integrationskonstante C bei der Flächenbestimmung verschwindet.
F(x)=(1/5)ax^5+(1/4)b^4+(1/2)x^2, für F(1)=1, mithin (1/5)a+(1/4)b+1/2=1.
Beide Seiten mit 20 multipliziert führt zu 4a+5b+10=20
Da a+b+1=0, ist b=-1-a.
Eingesetzt in die Flächengleichung bedeutet das
4a+5*(-1-a)=10.
4a-5a=15, also a=-15 und b=-1-(-15)=14.
Funktionsgleichung also f(x)=-15x^4+14x^3+x.
Allerdings ist die Steigung an der Wendestelle nicht maximal, sondern minimal.
Herzliche Grüße,
Willy
Du musst mit den gegebenen daten ein lineares Gleichungssystem aufstellen und lösen um die Koeffizienten des entsprechenden Polynoms zu bekommen
ich weiss aber ich weiss nicht wie ich das anstellen soll