Harmonische Schwingung Funktion, Wert von "t"?

Hallo, ich verstehe nicht ganz den Zeit-Wert der Variable "t" bei folgender Funktion mit folgender Angabe:

Ein Gegenstand mit der Masse 3 kg schwingt an einer horizontalen Feder mit einer Amplitude y_0=10cm und einer Frequenz von f=2Hz.

a) wie groß ist die Federkonstante?

b) wie groß ist die Schwingungsdauer?

c) höchste Geschwindigkeit?

d) höchste Beschleunigung?

Funktion der harmonischen Schwingung: $y(t)=y_0*\cos(wt)$

a) $w=2pi\cdot2Hz=12,56637s^{-1}$ $w^2=\frac{k}{m},\ k=w^2\cdot m=\left(2pi\cdot2Hz\right)^2\cdot3kg=473,74\ \frac{N}{m}$ b) $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{2Hz}=0,5s$

c) Erste Ableitung nach der Zeit: $y'\left(t\right)=-wy_0\cdot\sin\left(wt\right)$ $y'\left(t\right)=-12,56637s^{-1}\cdot0,1m\cdot\sin\left(12,56637\cdot t\right)$ Die Geschwindigkeit ist ja am höchsten, wenn in diesem fall sin(wt)=1 ist, was bei einem Wert von 90° bzw. 270° der Fall ist. Dabei müsste jetzt gelten t=7,162s bzw. 21,486s. Genau das verstehe ich jetzt nicht, denn die Schwingdauer beträgt ja 0,5s und innerhalb dieser Zeit muss die Geschwindigkeit ja ein maximum erreicht haben, sprich sin=90° bzw. 270°. Wahrscheinlich mach ich nur einen Denkfehler, aber ich komm nicht drauf. Das gleiche gilt für die Beschleunigung.

d) $y''\left(t\right)=-w^2\cdot y_0\cdot\cos\left(wt\right)$ $y''\left(t\right)=-\left(12,56637s^{-1}\right)^2\cdot0,1m\cdot\cos\left(12,56637s^{-1}\cdot t\right)$ dabei müsste t=0s bzw. 14,324s usw. gelten, nachdem cos=1 bei 0° bzw. 180° ist

Ich hoffe irgendjemand kann mir das erklären. $(t)=y_0*\cos(wt)$

Answer 1

[LoverOfPi]

Also. Du nimmst den Kosinus zur Beschreibung, das heißt: zu t=0 ist bei dir die Schwingung maximal ausgelenkt.

Es gilt jetzt: $y\left(t\right)=y_{\max}\cdot\cos\left(wt\right)$ $v\left(t\right)=-y_{\max}\cdot w\cdot\sin\left(wt\right)$ Bedenke: Auch die Geschwindigkeit schwingt sinusförmig, deshalb ist, wie du recht hast:

$v_{\max}=-y_{\max}\cdot w$ Ich weiß nicht, wie du auf die Zeiten kommst. Es gilt:

$w=4\pi\ \rightarrow\ v\left(t\right)=-4\pi\cdot y_{\max}\cdot\sin\left(4\pi\cdot t\right)$ Und jetzt musst gelten:

$v_{\max},\ wenn\ \sin\left(4\pi\cdot t\right)=1\ \leftrightarrow\ \sin\left(u\right)=1,\ x=4\cdot\pi\cdot t$ $u=\frac{\left(4n+1\right)\pi}{2}$ $4\cdot\pi\cdot t=\frac{\left(4n+1\right)\pi}{2}\ \leftrightarrow\ t=\frac{4n+1}{8}$ Du erhältst die maximale Geschwindigkeit immer bei t=(4n+1)/8 und in der anderen Richtung durch (4n+3)/8 (betrag gleich, Richtung anders). Das ist nicht erst bei 7s der Fall.

Analog betrachtest du die höchste Beschleunigung. Die Zeit ist eigentlich egal.

Es gilt:

$a\left(t\right)=v\left(t\right)'=-y_{\max}\cdot w^2\cdot\cos\left(wt\right)\ \leftrightarrow\ a_{\max}=-y_{\max}\cdot w^2$

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Ich studiere Mathematik im zweiten Semester

Comments

[ElDeGery]

kannst du mir bitte den term von "u" erklären. woher kommt: ((4n+1)*pi)2? bzw wo wird dieser hergeleitet?

ich bin auf die sekunden anzahl gekommen, da bei sin(4pi*7,..s) der sinus 1 ist. also ich habe einfach 90/(4pi) gerechnet (was mir auch bewusst war das dass falsch ist. aber ich hab keinen anhaltspunkt gehabt).

[LoverOfPi]

@ElDeGery

Naja. Wann ist die Funktion sin(x) denn 1? Genau! Bei π/2, bei 5/2π, bei 9/2π und so weiter. Im allgemeinen bei (4n+1)*π/2. Verdeutliche dir das am Graphen.

[ElDeGery]

@LoverOfPi

das versteh ich prinzipiell ja auch. Ich versuch die Frage nochmal anders zu stellen: wenn sin(x)=1 sein soll, muss der Wert der Variable x=90 sein, soweit sollte es ja noch passen. Wenn bei diesem spezifischen Beispiel x=w*t wobei gilt: w=4pi (12,566), dann muss ja t=7,162 sein, dass der Wert x=90 und dadurch wiederum sin(x)=1 ist. Und genau ab diesem Zeitpunkt versteh ich es nicht mehr. Wenn ich (4n+1)/8 (n=1 für eine Schwingung) einsetzte bekomme ich als Ergebnis w*t=7,85398. ich verstehe nicht wie in der Sinusfunktion ein Wert von 90 rauskommen soll, ohne dass ich die Kreisfrequenz mal 7,162 rechne...

Danke schonmal für die Geduld :)

[LoverOfPi]

@ElDeGery

Das stimmt nicht. Das gilt nur für das Gradmaß. Wenn du allerdings mit pi und anderen Werten rechnest, dann muss x ein ungerades Vielfaches von pi/2 sein. Du musst das schon im Bogenmaß betrachten. Also muss w*t=(4n+1)*pi/2 sein.

[ElDeGery]

@LoverOfPi

ouu. ich hab das immer nur in Grad betrachtet, nie als Radiant.. jetzt ergibt es Sinn für mich. ich muss so gesehen w*t rechnen und danach vom Bogenmaß in Grad umrechnen. w*t=4pi*1/8 und danach noch *180/pi.

ich bin dir so dankbar!

[LoverOfPi]

@ElDeGery

Genau!

[ElDeGery]

@LoverOfPi

ich zerbrech mir schon seit Stunden den Kopf darüber, was zur Hölle ich falsch mach, aber auf das wär ich niemals ohne dich gekommen! Viel vielen Dank!

[LoverOfPi]

@ElDeGery

Sehr gerne ;)