Gilt für einen körper, dass er mindestens 3 Elemente hat (Uni Mathe)?

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3 Antworten

Mit "Element" sind sowas wie Zahlen gemeint, also Elemente der Menge G. Das "x" und "+" sind also nicht als Element gemeint.

Für einen Körper gelten die Körperaxiome. Ein Körper ist eine Menge von Elementen (hier wird das G genannt), auf die man zwei Funktionen definieren kann, bei der eine wie die Addition funktioniert "+", und die andere wie eine Multiplikation "x". Man spricht auch von abelschen Gruppen.

Weil + möglich sein muss, muss es auch eine 0 geben als neutrales Element bei der Addition.

Weil x möglich sein muss, muss es auch eine 1 geben als neutrales Element bei der Mulitplikation.

Damit gibt es also mindestens 2 Elemente für jede Gruppe: die 0 und die 1.

Warum es aber 3 Elemente geben muss, ist mir nicht klar. Eigentlich wäre 0 und 1 schon ausreichend?

https://de.wikipedia.org/wiki/K%C3%B6rper\_%28Algebra%29#Endliche\_K.C3.B6rper

Unterkörper F2 ?

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Kommentar von ColaPina
20.04.2016, 14:58

Ich habe in meiner Frage wohl vergessen zu erwähnen dass die Aussage auch falsch sein kann, aber die Antwort war sehr hilfreich :)

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Kommentar von rumar
20.04.2016, 15:04

Um die Argumentation dafür, dass es mindestens 2 Elemente geben muss, fehlt hier noch die Begründung (aus den Axiomen) dafür, dass 0 (Neutralelement der Addition) und 1 (Neutralelement der Multiplikation) nicht ein und dasselbe Element sein können.

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Guck dir mal den Körper Z/2Z an.

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Das ist eine Frage, und du sollst als Übungsaufgabe entscheiden, ob jeder Körper, bestehend aus der Menge G, einer Addition + und einer Multiplikation x mindestens 3 Elemente haben muss, oder ob es auch Körper mit weniger als drei Elementen geben kann.

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Kommentar von ColaPina
20.04.2016, 14:55

Also sind die Addition und die Multiplikation Elemente?

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Kommentar von lks72
20.04.2016, 14:55

Und im Übrigen ist die Antwort nein. Der Restklassenring Z/2Z ist ein Körper mit den Elementen 0 und 1.

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1 und 1 + 1 = 0.

Das Distributivgesetz ist ohnehin klar.

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