Mathematik Gruppenhomomorphismen?
Hallo liebe Mathematiker,
ich habe seitdem ich an der Uni bin Schwierigkeiten in Mathe und bräuchte heute mal Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass durch
φ(z) := 2^z
A-)ein Gruppenhomomorphismus von (Z, +) nach (Q\{0}, ·) definiert wird.
B-) Geben Sie außerdem den Kern ker(φ) dieses Gruppenhomomorphismus an.
C-)Ist φ injektiv?
also mein Ansatz sieht aus wie folgt aber kann dazu leider kein richtigen Antwort dazu fassen...
B) Der Kern enthält immer [0] oder neutrale Elemente und das ist in unserem Fall auch sogar die [0] (vielleicht auch die 1 als neutrale Element, weil es nichts verändert)
C) Ob es Injektiv ist, lässt sich klar stellen, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. neutralen Element besteht. (Trivial) und das wird hier erfüllt, also ist es definitiv injektiv...
Falls irgendjemand Lust und Zeit hätte mir die Aufgabe besser zu erklären bzw. besser zu lösen, wäre ich dankbar...
3 Antworten
Der Kern enthält immer [0] oder neutrale Elemente und das ist in unserem Fall auch sogar die [0] (vielleicht auch die 1 als neutrale Element, weil es nichts verändert)
Per Definition: Wenn φ von G nach H ein Homomorphismus ist, dann ist der Kern von φ gerade die Menge aller Elemente von G, die auf das neutrale Element von H abgebildet werden.
D.H. wenn e das neutrale Element von H ist, besteht Kern(φ) aus allen Elementen g mit φ(g) = e.
Jetzt musst du dich also erstmal fragen: Was ist das neutrale Element von H? In deinem Fall ist H die multiplikative Gruppe auf Q \ {0}. Welche rationale Zahl (außer 0) kann man zu jeder rationalen Zahl (außer 0) multiplizieren, ohne sie zu ändern?
Wenn du das Element gefunden hast (nennen wir es für den Moment e), musst du jetzt eben herausfinden, für welche Elemente g die Gleichung φ(g) = e erfüllt ist. Es ist wahr, dass das auf jeden Fall für das neutrale Element in G gelten muss (welches ist das in diesem Fall?), aber du musst prüfen, ob es nicht noch weitere g gibt, die diese Gleichung erfüllen.
Das ist echt sehr gut erklärt mit den Fragen nacheinander... Vielen Dank...
Hast du denn A bereits gelöst? Da mußt du doch nur prüfen ob phi die Operation korrekt überträgt, also ob
phi(a + b) = phi(a)*phi(b)
gilt. Beachte, dass die Rechenoperation im Definitionsbereich + und im Wertebereich * ist.
Für die B überlege dir zunächst was überhaupt das neutrale Element im Wertebereich ist. Und DANN überlege dir welche Werte aus dem Definitionsbereich auf dieses Element abgebildet werden.
Für C hast du einen guten Ansatz wenn du eben zeigen kannst dass der Kern nur aus dem Nullelement besteht.
Vielen Dank...
also die A habe ich wie in dem Kommentar gelöst. Ich glaube das ist das gleiche wie Sie es gemeint haben oder?
So sieht es bei mir aus bisher
Wichtig ist darauf zu verweisen dass der log_2 selbst injektiv ist, d.h. daraus folgt nämlich dass es nur ein z gibt für das phi(z) = 1 ist.
Inwiefern ist Injektivität vom log hier relevant? Wenn 2^z = 1 ist, gilt
z = log_2(2^z) = log_2(1) = 0,
einfach weil der log_2 eine wohldefinierte Abbildung ist.
Offen gestanden wirkt es auf mich ein wenig seltsam, den log für die b) überhaupt zu verwenden: Wenn ich log_2(2^z) = z benutze, muss ich ja schon längst wissen, dass 2^z injektiv ist - sonst gäbs ja keine linksinverse Abbildung. Dieser Einwand macht die Lösung aber natürlich nicht falsch.
einfach weil der log_2 eine wohldefinierte Abbildung ist.
Äh ja, verlaufen... Hier muß man natürlich schreiben das die Potenzfunktion injektiv ist, was ja erst den log zu einer wohldefinierten Abbildung macht.
Du mußt noch ein wenig an deinen mathematischen Formulierungen arbeiten. Zunächst hast du A richtig gelöst.
Bei B solltest du den log_2 verwenden, so wie du es ja auch bei C getan hast. Wichtig ist darauf zu verweisen dass der log_2 selbst injektiv ist, d.h. daraus folgt nämlich dass es nur ein z gibt für das phi(z) = 1 ist.
Vermeide bei C den Ausdruck "trivial". Denn was die triviale Abbildung ist ist nicht notwendig definiert. Was du meinst ist dass der Kern der Abbildung trivial ist, d.h. nur aus dem neutralen Element des Definitionsbereiches besteht. Für die zweite Argumentation verwende wie bei B dass der log_2 selbst injektiv ist.