Gilt die Aussage auch für Ringe und Körper?
Es gilt, dass wenn (G1, ·1, e), . . . ,(Gn, ·n, en) Gruppen sind, auch das Produkt G1 × . . . × Gn zusammen mit der komponentenweisen Verknüpfung
(a1, . . . , an) · (b1, . . . , bn) = (a1 ·1 b1, . . . , an ·n bn) und dem Element e = (e1, . . . , en) eine Gruppe bildet.
Hallo,
kann mir jemand zeigen wie man untersucht ob Aussage auch für Ringe und Körper gilt? bin ratlos.
vielen dank!
1 Antwort
Ja das direkte Produkt von (kommutativen) Ringen (mit 1) ist mit den komponentenweisen Verknüpfungen wieder ein (kommutativer) Ring (mit 1). Für Körper gilt daher, dass das Produkt ein kommutativer Ring mit 1 ist, aber das direkte Produkt ist kein Integritätsring mehr und daher kein Körper. Um das einzusehen, beschränke dich mal auf den Fall n=2 und betrachte die Elemente (1,0) und (0,1).
Für einen Körper K gibt es eine Möglichkeit Verknüpfungen + und * auf KxK zu definieren, sodass (KxK,+,*) ein Körper ist genau dann wenn es kein Element i in K gibt mit i^2=-1. Die Verknüpfungen sind analog zu den komplexen Zahlen. Im Link wurde aber der genau dann Teil vergessen, der aber für die Existenz der Inversen benötigt wird. Denn a^2+b^2 kann sonst 0 werden.