Formel für den Binomialkoeffizienten?
Liebe Gutefrage Community,
aktuell versuche ich irgendwie mir die Formel für den Binomialkoeffizienten herzuleiten. Also eher intuitiv als mathematisch formell. Die Formel besteht im Zähler ja lediglich aus n!. Wenn man da jetzt mal als Beispiel einen Münzwurf mit drei Versuchen und zwei Erfolgen (Kopf) nimmt, dann wäre der Zähler ja
Da n! ja eigentlich für einzigartige Objekte gedacht ist gibt es hier doch eigentlich ein Problem, da es bei diesem binären Sachverhalt ja eigentlich
Möglichkeiten gibt:
- KKK
- KKZ
- KZK
- ZKK
- ZZZ
- ZZK
- ZKZ
- KZZ
Also wäre meine Frage jetzt, wieso steht im Zähler der Binomialkoeffizienzformel trotzdem n!?
Ich würde mich über ausführliche Antworten sehr freuen, da ich schon seit nun zwei Tagen einfach kläglich an dieser Formel scheitere.
Viele Grüße
Code Snake
3 Antworten
(n über k) ist die Anzahl an Möglichkeiten, k Elemente aus insgesamt n Elementen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge auszuwählen.
Ohne Formel würde man so überlegen: für den 1. Platz stehen n Elemente zur Verfügung, für den 2. noch (n-1), für den 3. dann (n-2), usw.; und für den k. Platz dann noch (n-k+1) Elemente. Das macht also n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1) Möglichkeiten.
Und das ist das gleiche, als würde man von n bis zur 1 runter alle Zahlen multiplizieren, also n!, und davon die Faktoren, die zuviel sind, wieder wegstreichen. Und der nächstkleinere Faktor nach (n-k+1) ist (n-k+1-1)=(n-k). Dieser Faktor und alle darunter, also (n-k)!, werden durch Teilen durch diese (n-k)! aus der Rechnung n! wieder "entfernt".
Da die Reihenfolge der ausgewählten k Elemente keine Rolle spielt, muss noch durch die Anzahl der Kombinationen innerhalb der k Elemente geteilt werden. Und um k Elemente untereinander zu verteilen gibt es k! Möglichkeiten.
n-maliges Münzwerfen wird nicht mit dem Binomialkoeffizienten berechnet. Dieser gilt bei der Situation "k Elemente aus n Elemente auswählen" (z. B. Lotto:"6 aus 49" =(49 über 6) Möglichkeiten).
Beim Münzwurf gibt es je Wurf 2 Möglichkeiten, also insgesamt 2*2*2*...*2 (n-mal), d. h. 2^n Möglichkeiten.
Von den 8 Möglichkeiten haben 3 Möglichkeiten zwei k.
3 ! / [ 2! * (3-2) ! ) = 3
Als "Erklärung" hilft dir vielleicht folgender Ausschnitt aus meinem alten Unterrichtskonzept:
Alle meine Unterrichtskonzepte findest du unter https://www.dropbox.com/sh/x56zbd1s9h9s199/AACTraaBO6hPukv2PMkjFB-_a?dl=0
Das bezieht sich ja jetzt auf einen Fall, bei dem die Objekte einzigartig sind. Aber wie sähe das z.B. bei einem Münzwurf aus?