Explizite Zahlenfolge herausfinden?
Die Zahlenfolge lautet: 0, 3, 8, 15, 24, 35, 48...
es steigert sich halt am Anfang um 3 und danach immer um 3+2 und nach jedem mal kommt eine 2 hinzu. Wie schreibt man das als Formel auf, z.B an=?
4 Antworten
a(n+1) = a(n) + 2(n+1) + 1
a0 = 0
a1 = 0 + 2 + 1 = 3
a2 = 3 + 4 + 1 = 8
.....
A_1=0
A_(n)=A_(n-1)+3+2*(n-2)
d.h. mit jeder Erhöhung von n um 1 kommt auch eine 3 und das 2fache von (n-2) dazu.
daher gilt wohl
A_n=A_1+summe i=2 bis n von (3)+summe i=2 bis n von (2*(i-2))
A_n=A_1+((n-2)+1)*3 +2*summe i=2 bis n von (i)+summe i=2 bis n von(-4)
zu deiner info:
summe i=a bis b von (k) ist
((b-a)+1)*k mit a,b,k konstanten.
gleichermassen gilt für die
summe i=2 bis n von (i) =n(n+1)/2-1
also ist:
A_n=0+(n-1)*3+2*(n(n+1)/2-1)-4*(n-1)
kannst du ausschreibe, ergibt dir ein hübsches Polynom :-)
Oder wenn man richtig mathematisch sein will, kann man auch ne Ableitung finden als
dA_n/dn=3+2(n-2)=3+2n-4=2n-1
integrieren liefert
A_n=n^2-n
ich garantiere für keinerlei Richtigkeit der Ergebnisse :-D
oder viel eifnacher ausgedrückt:
A_n ist A_1 plus die Summe der ersten n-1 ungeraden Zahlen, begonnen bei 3 als erste ungerade Zahl.
y=ax²+bx+c
3 Punkte einsetzen
(1;0)
(2;3)
(3;8)
dann a,b,c mit Gleichungssystem ausrechnen
a[n] = n^2 - 1, würde ich mal sagen.