Flächenbrechnen

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Ich komme auf einem anderen Weg zu dem gleichen Ergebnis wie "lks72":

.

Dazu betrachte ich ein Viertel der gegebenen Figur, also im Bild von "lks72" das Quadrat

.

A, (AB)/2, G, E.

.

und berechne (in Abhängigkeit von a) die Fläche, den der dadurch ausgeschnittene Teil der "Blume" einnimmt.

Diese Fläche entspricht natürlich genau 1 / 4 der Fläche der gesamten "Blume". Auf diesem Wege erspare ich mir das lästige Berechnen der "Mittelfläche" der "Blume" - muss dafür jedoch ein allerdings relativ einfaches Integral lösen.

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Betrachtet man das von mir gewählte "kleine Quadrat" so erkennt man zunächst, dass dessen Kantenlänge a / 2 und dessen Fläche daher a^2 / 4 ist.

Von der Fläche des kleinen Quadrates muss ich nun die Fläche subtrahieren, die von dem den Blumenteil begrenzenden Kreisbogenabschnitt und den Rändern des Quadrates eingeschlossen wird, und zwar wegen der Symmetrie zwei mal.

Das Ergebnis ist die Fläche des Teiles der "Blume", die in meinem kleinen Quadrat liegt. Diese Fläche ist, wie schon ausgeführt, 1 / 4 der Fläche der gesamten "Blume".

.

Die einzige "Schwierigkeit" ist die Berechung der Fläche unter dem Kreisbogenabschnitt.

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Zu deren Berechung lege ich die linke untere Ecke des kleinen Quadrates (Punkt A im Bild von "lks72") in den Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems und erkenne:

Die Fläche ergibt sich als bestimmtes Integral über den Kreisbogen eines Kreises mit Radius a, dessen Mittelpunkt bei (0, a) liegt, in den Grenzen 0 bis a / 2.

.

Die Funktionsgleichung dieses Kreises lautet:

x^2 + (y - a)^2 = a^2

<=> (y - a)^2 = a^2 - x^2

<=> y = - 2.Wurzel(a^2 - x^2) + a

(Da ich den "unteren" Teil des Kreises betrachte, muss ich die negative Wurzel nehmen).

.

Die Fläche unter diesem Kreisbogenabschnitt ergibt sich nun als bestimmtes Integral

INT y dx in den Grenzen (0, a / 2)

.

Nun kommt der scheinbar schwierigste Teil der Arbeit: Die Ermittlung der Stammfunktion F ( x ) der Funktion

.

y = f ( x ) = - 2.Wurzel(a^2 - x^2) + a

.

Offenbar ist:

.

F ( x ) = - INT (2.Wurzel(a^2 - x^2)) dx + a * x

(Die Integrationskonstante lasse ich jetzt mal weg, sie entfällt ohnehin bei der Berechnung des bestimmten Integrales.)

.

Zum Glück ist INT ( 2.Wurzel(a^2 - x^2)) dx ein Grundintegral, sodass man es in wohl jeder Formelsammlung finden kann.

Es gilt:

.

INT( 2.Wurzel(a^2 - x^2)) dx

= 0,5 * ( x * 2.Wurzel(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin (x/a) )

.

Damit ergibt sich für die gesuchte Stammfunktion F ( x ):

.

F ( x ) = a * x - 0,5 * ( x * 2.Wurzel(a^2 - x^2) + a^2 * arcsin (x/a) )

.

Für die gesuchte Fläche D unter dem Kreisbogenabschnitt ergibt sich daher:

.

D = F ( (a / 2) ) - F ( 0 )

= (a * (a / 2) - 0,5 * ( (a / 2) * 2.Wurzel(a^2 - (a / 2)^2) + a^2 * arcsin (1 / 2)) ) -

(a * 0 - 0,5 * ( 0 * 2.Wurzel(a^2 - 0^2) + a^2 * arcsin (0) ) )

.

Berücksichtigt man nun, dass

a) der hintere Teil ( entspricht F ( 0 ) ) gleich Null ist,

b) 2.Wurzel(a^2 - (a / 2)^2) = (a / 2) * 2.Wurzel (3)

c) arcsin( 0,5 ) = pi / 6,

dann ergibt sich daraus:

.

D = (a^2 / 2) - (a / 4) * (a / 2) * 2.Wurzel(3) - (a^2 / 2) * pi / 6

= (a^2 / 2) - (a / 4) * (a / 2) * 2.Wurzel(3) - (a^2 / 2) * pi / 6

= (a^2 / 2) * (1 - (1 / 4) * 2.Wurzel(3) - pi / 6)

.

Diese Fläche D muss ich zweimal von der Fläche des kleinen Quadrates ( Kantenlänge a / 2 ) abziehen, dann erhalte ich die Fläche des Teiles der "Blume", der in dem kleinen Quadrat liegt. Das Vierfache dieser Fläche ist dann die Fläche A der gesamten "Blume".

Also:

.

A = ((a / 2)^2 - 2 * D ) * 4

= a^2 - 8 * D

= a^2 - 8 * ( (a^2 / 2) * (1 - (1 / 4) * 2.Wurzel(3) - pi / 6) )

= (a^2 - ( 8 * (a^2 / 2) * 1 - 8 * (a^2 / 2) *(1 / 4) * 2.Wurzel(3) - 8 * (a^2 / 2) * pi / 6) )

= (a^2 - ( 4 * a^2 - a^2 * 2.Wurzel(3) - 4 * a^2 * pi / 6) )

= a^2 - 4 * a^2 + a^2 * 2.Wurzel(3) + a^2 * (2 / 3) * pi

= a^2 * (1 - 4 + 2.Wurzel(3) + (2 / 3) * pi )

= a^2 * (-3 + 2.Wurzel(3) + (2 / 3) * pi )

= a^2 * (2.Wurzel(3) - 3 + (2 / 3) * pi )

.

Dieser Ausdruck ist äquivalent zu dem, der sich bei "lks72" ergibt, beide Ausdrücke lassen sich ineinander umformen.

.

Rechnet man nun aus, dann ergibt sich für den Wert der Fläche A der "Blume" ungefähr:

.

A = 0,826446 a^2

.

was von der Anschauung her durchaus plausibel erscheint.

Das ist der Grund, warum Mathematik so einzigartig ist!!! Es ist immer wieder verblüffend, dass man mit vollkommen unterschiedlichen Ansätzen zu dem gleichen Ergebnis kommt. Wenn man jemanden zeigen will, was an der Mathematik so faszinierend ist, dann soll er sich unsere beiden Lösungen anschauen. Hut ab!.

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@lks72

Dem kann ich nur voll zustimmen. Ich selbst war auch schwer begeistert, als ich feststellte, dass beide Ausdrücke (deiner und meiner) äquivalent sind. Bis dahin hatte ich doch noch etwas gezweifelt und war sehr gespannt.

"Natürlich" habe ich (Schande über mich) zunächst geprüft, ob beim Einsetzen eines Wertes für a in beiden Fällen dasselbe Ergebnis herauskommt. Erst als sich das bestätigte, habe ich mich an die Umformung gemacht, die allerdings auch nicht sehr schwierig ist.

.

Es geht wirklich kaum etwas über dieses tolle Gefühl, das einen überkommt, wenn man "es" geschafft hat. Diejenigen, die meinen die Mathematik "hassen" zu müssen, sind wirklich zu bedauern, da sie das vielleicht niemals erleben werden ...

Vielen Dank auch für das Kompliment, das ich natürlich gerne erwidere!

0

Respekt, ich hatte die selbe idee...

War aber viel zu faul

Sehr schön gemacht, kann man nur sagen, wirklich!

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Das geht aus der Zeichnung nicht so klar hervor, aber ich nehme an, die gebogenen Linine sind Kreisbögen, die den Kreismittelpunkt in den Ecken des Quadrats haben. Dann musst du nur ein Kreissegment berechnen (http://de.wikipedia.org/wiki/Kreissegment) und mit vier multiplizieren. Wenn du die Zeichnung in Wikipedia zugrunde legst, dann ist dort der Radius r die Kantenlänge deines Quadrats und der Winkel Alpha ist 90 Grad. Mehr brauchst du nicht.

nun ich schätzemal das ist genau das was ich brauche nur verstehe ich nicht ganz wie ich das umsetzen soll...Also ich brauche die allgemeine Formel... A = a* was weiß ich pi ² oder sowas...

Ich bin echt kein Mathegenie xD

0

Ich beschränke mich mal nur auf die Fläche in der Mitte, der Rest dürfte ja klar sein:

In der Zeichnung ist 1/4 der Mittelfläche einfach die Differenz aus dem Kreissektor IBJ und den beiden Dreiecken GJB und GBI. Der Winkel BGI hat das Maß 135Grad, wie man sich leicht überlegt. Die Strecke BI hat die Länge a, die Strecke BG ist die halbe Quadratdiagonale und hat damit die Länge a/2 * w(2).

Nach dem Sinussatz gilt nun sin(GIB)/(a/2 * w(2)) = sin(135)/a. Wegen sin(135)=sin(180-135)=sin(45)=1/2 * w(2) ergibt sich damit nach Auflösen der Gleichung
sin(GIB) = 1/2 und damit GIB = 30Grad. Der Winkel IBG hat damit das Maß 15 Grad.

Die Fläche der Dreiecke GJB bzw. GIB zusammen ist nun A = 2 * 1/2 * a * a/2 * w(2) * sin(15) = a^2/2 * w(2) * 1/2 * w(2-w(3)).

(sin(15) = 1/2 * w(2-w(3)), dies lässt sich mit dem Sinusadditionstheorem und einigen Umformungen beweisen, führt aber jetzt hier zu weit)

Die Fläche des Kreissektors ist 1/12 der Kreisfläche, da 30/360=1/2 ist, daher gilt für die Gesamtfläche des Mittelteils (mal 4 nicht vergessen, da wir ja nur ein Viertel ausrechnen würden!)

A = 4 * (1/12 * pi * a^2 - 2 * 1/2 * a/2 * w(2) * a * 1/2 * w(2-w(3)))

A = 1/3 * pi * a^2 - w(2) * w(2-w(3)) * a^2.

A = a^2 * (1/3 * pi - w(2) * w(2-w(3)).

Für die ganze Aufgabe nun: Alle vier großen Viertelkreise addieren, zweimal die Quadratfläche subtrahieren und einmal die oben angegebene Fläche subtrahieren und das war's.

p.s. Keine Gewähr für das Ausbleiben von Rechenfehlern und sowas.

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