Mann muss immer unterscheiden zwischen Vereinsmitgliedschaft und Spielberechtigung.
Die Vereinsmitgliedschaft (und somit auch den Vereinsaustritt) regelt die Vereinssatzung. Wenn du den dort genannten Termin für den Austritt verpasst hast, dann musst du bis zum nächstmöglichen Austrittstermin Mitglied bleiben und die Beiträge bezahlen.
Tipp: Lass dir die Satzung geben (oft findet man die auch im Internet) und lies nach, wie der Austritt geregelt ist. Verlasse dich hierbei nicht auf Aussagen von Vereinsmitarbeitern!
Auch wenn du Vereinsmitglied bleiben musst, so hindert dich dies keineswegs daran, zusätzlich Mitglied in einem anderen Verein zu werden.
Die Spielberechtigung und somit auch der Wechsel als Spieler zu einem anderen Verein wird hingegen durch die entsprechende Vorschrift des übergeordneten Fachverbandes geregelt, hier vermutlich der Berliner Fußball-Verband (BFV)). Ein Wechsel kann grundsätzlich nicht verwehrt werden, allerdings sind einige Bedingungen zu erfüllen. Frage beim BFV nach oder lies in dessen Meldeordnung https://berliner-fussball.de/fileadmin/user_upload/der_bfv/Downloads/satzung-und-ordnungen/BFV-Meldeordnung_-_Stand_6._Juli_2016.pdf
insbesondere in $ 5 "Spielerlaubnis beim Vereinswechsel von Amateuren".
Besonders wichtig ist im Zusammenhang mit deiner Frage folgende Vorschrift (§ 5 Abs. 1.4 der Meldeordnung des BFV):
Geht einemVerein eine Abmeldung per Einschreiben / Rückschein zu, so ist er verpflichtet,dem Spieler oder dem neuen Verein oder seinem zuständigen Verband denSpielerpass mit dem Vermerk über die Freigabe oder Nicht-Freigabe innerhalb von14 Tagen ab dem Tag der Abmel dung gegen Empfangsbescheinigung auszuhändigenoder per Einschreiben / Rückschein zuzusenden.
Ein Wechsel vom 1. Juli bis zum 31. August möglich (Wechselperiode I), also auch jetzt noch. Du musst dich einfach bei deinem alten Verein als Spieler abmelden (Vereinsmitglied wirst du, wie gesagt, bleiben müssen). Die Abmeldung muss per Einschreiben mit Rückschein auf einer Postkarte erfolgen (so geregelt in $ 5 Abs. 1.2 der Meldeordnung). Der Verein muss dann deinen Spielerpass innerhalb von 14 Tagen herausgeben.
Etwas anderes gilt, wenn du mit deinem bisherigen Verein einen Vertrag abgeschlossen hast, der dich verpflichtet, bis zu einem bestimmten Zeitpunkt für diesen Verein zu spielen. Dann gilt allerdings: "Pacta sunt servandum" (Verträge sind einzuhalten).
Mein Rat: Wende dich an den BFV und schildere diesem deine Problematik. Ich glaube, dass dein bisheriger Verein bezüglich seiner merkwürdigen Forderungen einigen Ärger bekommen könnte ...