Eine Quadratische Gleichung mit 2 Unbekannten?
Hallo,
könnte mir jemand näher beschreiben wie man die Gleichung 4x^2-7=y^2 in ganzen Zahlen lösen kann?
Lg
3 Antworten
Es ist im allgemeinen nicht so einfach, so eine Gleichung zu lösen. Prinzipiell gibt es ja unendlich viele Punkte (x,y), die diese Gleichung erfüllen - und davon können theoretisch auch unendlich viele ganzzahlig sein. Man muss sich also die spezielle Gleichung etwas genauer anschauen. Zunächst einmal ist klar, dass man sich auf die natürlichen Zahlen beschränken kann, denn aus einer natürlichen Lösung bekommt man die entsprechenden anderen Lösungen schnell (wenn (x, y) eine Lösung ist, dann auch (-x,y), (x, -y) , (-x, -y), da das Vorzeichen beim Quadrieren ja wegfällt und es keine linearen Glieder gibt).
Dann lässt sich die Gleichung umformen:
4 x^2 - 7 = y^2 wird zu
(2x)^2 - y^2 = 7.
Damit für zwei natürliche Zahlen 2x und y die Differenz ihrer Quadrate "nur" 7 ist, müssen die beiden zum einen nahe zusammenliegen, zum anderen selber recht klein sein:
Angenommen, die beiden Zahlen lägen um 3 auseinander (also 2x = a+3, y = a) für ein geeignetes a, dann wäre die Differenz der beiden Werte bereits
(a+3)^2 - a^2 = 6a + 9, also schon zu viel.
Angenommen, die beiden Zahlen lägen um 2 auseinander (also 2x = a+2, y=a) für ein geeignetes a, dann wäre die Differenz
(a+2)^2 - a^2 = 4a + 4. Man sieht sofort, dass das nicht 7 sein kann.
Also müssen 2x und y aufeinander folgen, d. h. es muss ein a geben, so dass 2x =a+1 und y = a ist.
Dann habe ich
(a+1)^2 - a^2 = 2a + 1 = 7.
Und dafür gibt es natürlich nur eine Lösung, a = 3, und damit 2x = 4, x = 2, y= 3. Eingesetzt sieht man, dass das auch stimmt:
4 2^2 - 7 = 3^2.
Damit habe ich aber erste die eine natürliche Lösung (2,3) gefunden, die anderen Lösungen sind (siehe oben)
(-2,3)
(2,-3)
(-2,-3)
ich kenne mich nicht aus , eine Pellsche Ggl (Fermatglg ) ist es nicht . Gibt es überhaupt ein Verfahren
Da 4x^2=(2x)^2 gilt ist das eine Quadratzahl. Du musst also nun die Quadratzahl finden, für die gilt, dass die Zahl verringert um 7 auch eine Quadratzahl ist (da y^2 eine Quadratzahl ist)
Da die Differenz der n. Und n+1. Quadratzahl gleich 2n-1 ist, kann 4x^2 maximal 16 sein.
Also ist x maximal 2
Man muss also nur die Fälle x=0, x=1 und x=2 testen.
Nur für x=2 ist 4x^2-7 eine Quadratzahl.
Somit bekommt man die Lösung x=2 und y=3
Man muss dann noch beachten, dass man natürlich noch die negativen werte einsetzten kann, weswegen man dadurch insgesamt auf 4 Lösungspaare kommt
das ist mehr Versuch und Irrtum
.
4x² - y² = 7
(2x + y)(2x-y) = 7
.
schauen, ob 7*1 möglich ist
.
mit x = 1 und y = 5 : Nein
mit x = 2 und y = 3 : Ja.....-2 und -3 klappt auch
(2*2 + 3 )*(2*2 - 3 ) = 7*1
mit x = 3 und y = 1 : Nein.
Da muss an aber eigentlich nicht probieren, man löst ein LGS mit 2 Variablen:
2x+y=7
2x-y=1
==> 4x=8 ==> x=2 y=3
Anschließend macht man sich die Symmetrie von Hyperbeln zunutze.
Stünde da 8 statt 7:
2x+y=8
2x-y=1
==> 4x=9 ==> keine ganzzahlige Lsg. mit 1 * 8
2x+y=4
2x-y=2
==> 4x=6 ==> keine ganzzahlige Lsg. mit 2 * 4
Also überhaupt keine ganzzahligen Lösungen