Ebenen und Abstände - Aussagen?
Welche der beiden Aussagen ist richtig? Begründen oder widerlegen Sie.
(A) Spannen die beiden Geraden g, und g, eine Ebene E auf, die parallel zu F ist und den Abstand d von F hat, so haben auch g, und g₂ den Abstand d von F.
(B) Haben die beiden Geraden g₁ und g₂ den Abstand d von F, so spannen sie eine Ebene E auf, die parallel zu F ist und ebenfalls den Abstand d von F hat.
Wie kann man diese Aussagen begründen bzw. widerlegen?
1 Antwort
Da jeder Punkt auf einer Ebene zu einer parallelen Ebene den gleichen Abstand hat (andererseits wären die Ebenen nicht parallel), haben auch die zwei Geraden die in der Ebene liegen und diese damit aufspannen, den gleichen Abstand zur parallelen Ebene.
Die zweite Aussage ist klar falsch. Nimm dir z.B. g1: x=(1,0,0)+r(0,0,1) und g2: x=(-1,0,0)+t(0,0,1)
Diese Geraden spannen, obwohl sie dem gleichen Abstand zu der Ebene F haben (F ist in dem Fall die yz-Ebene) die xz-Ebene auf, die weder parallel zu F ist, noch hat sie einen Abstand dazu, da sich beide Ebenen schneiden.
Diese Geraden spannen [...] die xz-Ebene auf [...].
Aber g1 und g2 sind kollinear. Sie spannen gar keine Ebene auf.
Die Aussage (B) ist wahr, wenn g1 und g2 linear unabhängig sind, sonst falsch.
Außerdem würdest du doch mit Aussage B auch sagen können:
Haben zwei zueinander windschiefe Geraden zu einer Ebene den gleichen Abstand, dann spannen sie eine, zu der ersten Ebene parallele Ebene mit gleichem Abstand auf. Das ist doch Stuss.
Die Aussage lässt sich doch umformulieren zu: WENN zwei Geraden den Abstand d zu einer Ebene haben, DANN spannen sie zwingend eine zu dieser Ebene parallele, gleich weit entfernte Ebene auf. Ich kann dir da verschiedene Beispiele nennen, für die das nicht zutrifft. Eben schon alleine für zwei windschiefe Geraden, die die "Wenn-Bedingung" ebenfalls erfüllen, woraus die "Dann-Folge" folgen müsste.
Oh, habe mich verlesen. Habe Stütz- und Richtungsvektor verwechselt, sorry.
Vielen Dank! Aber hättest du noch ein Beispiel für (A) ? weil die Aussage stimmt ja...